前に孤波という現象について書きましたが、孤波の存在は数学と物理の世界では孤立波 (ソリトン, soliton)として知られてます。実際に原子がエーテル中の孤立波で説明されるのかは、此からの検討課題です。

取り敢えず、以下のwebサイトから、基本的な数式だけ引用します。興味の有る人は直接引用ページに行って読んだ方が判り易いと思います。

座標を線形波の速さで動いている座標系に取ると$${x \leftarrow x - c_0 t}$$、 波動を表す式は以下で表わされ、Korteweg-de Vries (KdV)方程式と呼ばれてます。

$$
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + 6 u(x,t) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} + \frac{\partial^3 u(x,t)}{\partial x^3} = 0
$$

KdV方程式には複数の解が存在することが知られてます。 ひと山のパルスが伝搬する解は1-ソリトン解と呼ばれ、位相速度を$${c = 4 \kappa^2}$$と置くと、以下の式で表わされます。

$$
u(x,t) = 2 \kappa^2 \textrm{sech}^2\left(\kappa(x-c t + \delta) \right)
$$

実際にソリトン解を求めてシュミレーションするのは、次のQiitの記事からです。

出来たアニメーションです。上記の論文では色々な検討されてますので、是非訪問して見て下さい。