今日は弧度法(ラジアン)の話。

今まで弧度法と聞いても
「π=180°でしょ」
程度にしか考えていなかった(今もその程度だけど)。

ただ、ここ最近この弧度法についてちょっと考える機会が多かったので、自分でいろいろと調べてみることにした。

以下からの文章は私がネットで調べた情報＋私の個人的な見解によって書かれているため正確性・信憑性には著しく欠けていることに注意いただきたい。

今回私が一番知りたかったことは弧度法の成り立ち。

元々、小学生のころから度数法(円の角度は360°ですよーっていうやつ)に慣れ親しんでいた身としてはなぜ弧度法なるものが必要になったのか気になるところ。

ここで混同してほしくないのは私が知りたいのはあくまでも弧度法が産声を上げる直前の成り立ちであり、弧度法による恩恵を知りたいわけではない。

例えば、ネットでちょろっと検索すると弧度法を使うことによって三角関数に関わる公式が美しく(シンプルに)なりますよーとかっていう情報がすぐ出てくるけど、それって弧度法ができてからの副次的な効果であって、成り立ちとは関係ないんじゃない？(個人的な意見)と思う。

まずは一般的な弧度法の定義を記載しておく。

日本の計量単位令では以下のように弧度法を定義している。

「円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度」

弧度法は、弧の長さをL、半径をrとすると以下のような式によって定義される。

θ = L/r [rad]

この式から、もし弧の長さLが半径rと同じならそれが1radになるし、円周の長さ2πrという式から、半円の弧の長さはその1/2のπrだから、式に当てはめると半円の角度、つまり180°はπというお決まりの関係性も(当たり前だが)導かれる。

この弧度法の概念は、Wikipediaいわくロジャー・コーツという方が初めて世に出したらしい。

ただ、このロジャー・コーツさんがどのような理由で弧度法を考えたのか等肝心のところは調べられなかった。

そのため、これ以降の話は私が自分自身で納得した解釈であり、実際のところはわからない。

まず、弧度法について調べていて、私が「これだ！」と思った考え方が下記である。

①円の角度を360分割するというのは数学的には全く意味がない。
②扇の中心の角度は弧の長さに比例している。

まず①について。

私は元々度数法に慣れ親しんでいたから弧度法に疑問を持ったけど、そもそも度数法も知らない、まっさらな頭で角度を考えてみることが大事だと思った。

そう考えると別に度数法(つまり円の角度を360分割するという考え)も自分の中で納得するものでもないし、単なる考えた人間のでっち上げと思ったわけだ(ちなみに、円の角度を360分割するというのは地球の公転の約1日分みたいな考えから来たらしい)。

次に②について。

これは度数法も弧度法も知らなくても図形を見ていれば確かに思いつくことで、扇の弧が長ければ角度も大きくなるし、弧が短ければ角度も小さくなる。

つまり、弧の長さと角度は比例関係にある。

そうすると、角度の表し方に弧の長さを絡めたいと思うのは自然のことだと思う。

円周の長さは2πrだ。

ここで、円周の長さは半径rが関係するが、角度は半径rに関係ないということがこれも図形を見れば明らかだ。

ということで、円周の長さの2πrという式から半径の関係を取り除くために半径で割ることにする。

2πr/r = 2π

これで円の角度(度数法で360°)は2πという弧度法の関係が導かれる。

この解釈の仕方は自分で考えていて、我ながらとてもしっくりきた。

つまり、弧度法は角度を角度と比例関係にある円弧の長さで表そうと考えたものの産物であり、それは意味のない360で分割した度数法よりも自然な考え方なのではないか、という結論に至った。

これで自分の中ではスッキリすることができた。

繰り返しになるが、これはあくまでも私の勝手な解釈なので本当の成り立ちとは違うかもしれない(たぶん違う)。