有限予測の方法
 
Seghier[4] は、定常確率過程において有限時間過去のデータをもとにした予測理論を論じた。
$${{{e}_{c}}={{e}_{c}}\left( x \right)={{e}^{icx}}}$$ ,
$${{{H}_{\left( a,b \right)}}}$$を $${{{L}^{2}}\left( \mathbb{R},f\left( x \right)dx \right)}$$の　{$${{{e}_{t}}}$$ : $${a\le t\le b}$$}で張られる閉部分空間とする。
確率過程という時間 のながれ$${{{e}_{t}}={{e}_{t}}\left( x \right)}$$があるとき、過去を$${{{H}_{\left( -\infty ,0 \right)}}}$$、 未来を$${{{H}_{\left( 0,\infty \right)}}}$$ とする。定常確率過程の予測問題では、ある未来の時点$${\tau >0}$$での値 $${{{e}_{\tau }}}$$ から過去$${{{H}_{\left( -\infty ,0 \right)}}}$$への正射影が最適な予測量を与える。
実際、最適予測量は
$${\frac{{{e}^{ix\tau }}}{h\left( x \right)}\int\limits_{\tau }^{\infty }{{{e}^{-i\lambda x}}\left[ \hat{h}\left( \lambda \right) \right]d\lambda }}$$
と計算される。ここで、$${f\left( x \right)=h\left( x \right)\overline{h\left( x \right)}}$$ と分解され、$${h\left( x \right)}$$ はHardy class $${{{H}^{2-}}}$$の関数で、$${\hat{h}\left( \lambda \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-i\lambda x}}h\left( x \right)dx}}$$である。
有限予測の問題では$${{{e}_{\tau }}}$$,$${\tau >0}$$から有限過去$${\left( -T,0 \right)}$$におけるデータから作る $${{{H}_{\left( -T,0 \right)}}}$$への正射影を求めることが必要となる。無限過去を使った予測の場合は$${{{H}_{\left( -\infty ,0 \right)}}}$$ への正射影を求めるために、フーリエ変換を計算し正の部分をカットして逆変換を求めることができたが、有限区間$${\left( -T,0 \right)}$$ ではフーリエ変換とか、Hardy 関数の空間$${{{H}^{2-}}}$$といった対応がそのままの形ではできない。そこで、Seghier　は、$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}={{H}_{\left( -a,\infty \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$ となる条件をもとめ、その条件下で　$${{{e}_{\tau }},\tau \notin \left( -a,a \right)}$$から$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}={{H}_{\left( -a,\infty \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$への正射影を与える方法をとった。$${{{H}_{\left( -a,\infty \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$への射影を計算するには、$${{{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}}$$への射影と、$${{{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$ への射影を交互に行う。つまり、$${{{e}_{\tau }}}$$ から$${{{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}}$$への正射影$${{{e}_{1}}}$$を求める。つぎに$${{{e}_{1}}}$$ から$${{{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$ への正射影$${{{e}_{2}}}$$ を求める。ふたたび、$${{{e}_{2}}}$$ を$${{{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}}$$ への正射影…..このように$${{{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$と$${{{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}}$$交互に次々射影$${{{e}_{1}},{{e}_{2,\cdots }}}$$ をほどこして繰り返せば$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}_{n}}\in {{H}_{\left( -a,\infty \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}}}$$となることは、すでにvon　Neumannにより証明されている常套手段である。$${{{e}_{s}}{{H}_{\left( a,b \right)}}={{H}_{\left( a+s,b+s \right)}}}$$となることは
$${{{e}_{t}}}$$ : $${a\le t\le b}$$で張られる閉部分空間は$${\left\{ {{e}_{t+s}}:a\le t\le b \right\}={{e}_{s}}\left\{ {{e}_{t}}:a\le t\le b \right\}}$$とすれば時間シフトが実現される。そして有限過去　$${{{H}_{\left( -2a,0 \right)}}}$$は、時間のずらし$${t\to t-a}$$ をして得られる $${{{H}_{\left( -2a,0 \right)}}={{e}_{-a}}{{H}_{\left( -a,a \right)}}}$$と考えても$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}}$$と確率的な性質を変えないことは、考察している確率過程に定常性を仮定しているからである。$${{{H}^{2+}}}$$と$${{{H}^{2-}}}$$は時間の進行方向が逆ではあるがフーリエ変換で見ればサポートが正か負かということで相互補完的な関係になっている。そのため$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}}$$というように時間間隔を対称に選んでいる。
$${f\left( x \right)=g\left( x \right)\bar{g}\left( x \right)}$$ で、$${g\left( x \right)}$$がHardy クラス$${{{H}^{2+}}}$$の外関数とする。そのとき複素共役$${\bar{g}\left( x \right)}$$はHardy クラス$${{{H}^{2-}}}$$の外関数となっている。$${P}$$ を$${{{L}^{2}}\left( \mathbb{R},dx \right)}$$における$${{{H}^{2+}}}$$ への正射影作用素とする。$${Q}$$ を$${{{L}^{2}}\left( \mathbb{R},dx \right)}$$ における$${{{H}^{2-}}}$$への正射影作用素とする。$${{{M}_{c}}=Q\left( {{e}_{2c}}\frac{g}{{\bar{g}}} \right)P}$$とおく。

(1)の証明は、Levinson-McKean [2]において$${a=0}$$の場合が証明された。Seghier[4]では（１）と（２）の$${c=0}$$ の場合すなわち、$${{{M}_{0}}}$$に関する条件を証明している。
$${\bigcap\limits_{\varepsilon >0}{{{H}_{\left( -a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)}}}}$$がtype $${\le a}$$の指数型の整関数で、実数軸への制限が$${f\left( x \right)dx}$$ に関して2乗可積分な関数全体を表していることをL.D.Pitt[3]が示している。
 
（２）の証明を与える：
$${\left\| {{M}_{c}} \right\|<1}$$がある$${c\ge 0}$$ で成り立つことを仮定する。
いま、$${a\left( >c \right)}$$を固定する。
（１）を使うと$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}\supset \bigcap\nolimits_{\varepsilon >0}{{{H}_{\left( -c-\varepsilon ,c+\varepsilon \right)}}}}$$である。したがって、
$${{{H}^{\bot }}_{\left( -a,a \right)}\subset {{\left( {{H}_{\left( -\infty ,c \right)}}\cap {{H}_{\left( -c,\infty \right)}} \right)}^{\bot }}}$$$${=\overline{{{H}^{\bot }}_{\left( -\infty ,c \right)}+{{H}^{\bot }}_{\left( -c,\infty \right)}}}$$
$${\left\| {{M}_{c}} \right\|}$$は$${{{H}_{\left( -\infty ,c \right)}}}$$ と$${{{H}_{\left( -c,\infty \right)}}}$$の角度のコサインをあらわしており$${\left\| {{M}_{c}} \right\|<1}$$であることより右辺はclosureをとるまでもなく閉集合であるので、
$${={{H}^{\bot }}_{\left( -\infty ,c \right)}+{{H}^{\bot }}_{\left( -c,\infty \right)}}$$
となる。そして、
$${{{H}^{\bot }}_{\left( -\infty ,c \right)}={{\overline{\left( {{e}_{c}}g \right)}}^{-1}}{{H}^{2+}}}$$,
$${{{H}^{\bot }}_{\left( -c,\infty \right)}={{\left( {{e}_{c}}g \right)}^{-1}}{{H}^{2-}}}$$
である。したがって、任意の$${\psi \in {{H}^{\bot }}_{\left( -a,a \right)}}$$は
$${\psi ={{\left( {{e}_{c}}g \right)}^{-1}}{{\theta }_{1}}+{{\overline{\left( {{e}_{c}}g \right)}}^{-1}}{{\theta }_{2}}}$$、$${{{\theta }_{1}}\in {{H}^{2-}}}$$ ,$${{{\theta }_{2}}\in {{H}^{2+}}}$$
と書ける。$${\psi \in {{H}^{\bot }}_{\left( -a,a \right)}}$$より$${\left| u \right|\le a}$$にたいして$${\left( \psi ,{{e}_{u}} \right)=0}$$である。他方、
$${{{\left( \psi ,{{e}_{u}} \right)}_{f}}={{\left( {{\left( {{e}_{c}}g \right)}^{-1}}{{\theta }_{1}}+{{\overline{\left( {{e}_{c}}g \right)}}^{-1}}{{\theta }_{2}},{{e}_{u}} \right)}_{f}}}$$
より
（＊）$${0=\left( {{\theta }_{1}},g{{e}_{u+c}} \right)+\left( {{\theta }_{2}},g{{e}_{u-c}} \right)}$$,$${\left| u \right|\le a}$$.
でなければならない
―――――――
$${-a\le u\le c}$$では
$${\left( {{\theta }_{2}},\bar{g}{{e}_{u-c}} \right)=0}$$
（＊）より同時に$${0=\left( {{\theta }_{1}},g{{e}_{u+c}} \right)}$$
$${-c\le u\le a}$$では
$${0=\left( {{\theta }_{1}},g{{e}_{u+c}} \right)}$$
（＊）より同時に
$${\left( {{\theta }_{2}},\bar{g}{{e}_{u-c}} \right)=0}$$
 
以上まとめると
$${-a\le u\le a}$$において
$${0=\left( {{\theta }_{1}},g{{e}_{u+c}} \right)}$$かつ$${\left( {{\theta }_{2}},\bar{g}{{e}_{u-c}} \right)=0}$$
がいえた。
$${0=\left( {{\theta }_{1}},g{{e}_{u+c}} \right)}$$,$${-a\le u\le a}$$
ということから、
$${\left( {{e}_{a-c}}{{\theta }_{1}},g{{e}_{t}} \right)=0}$$ , $${0\le t\le 2a}$$
だが、これは$${0\le t}$$までのばせる。さらに$${g}$$ は$${{{H}^{2+}}}$$ の外関数であることから、結局
$${{{e}_{a-c}}{{\theta }_{1}}\in {{H}^{2-}}}$$
がいえる。
$${{{\left( {{e}_{c}}g \right)}^{-1}}{{\theta }_{1}}\in {{\left( {{e}_{a}}g \right)}^{-1}}{{H}^{2-}}={{H}_{\left( -a,\infty \right)}}^{\bot }}$$。
ほとんど同じ議論で、
$${{{\overline{\left( {{e}_{c}}g \right)}}^{-1}}{{\theta }_{2}}\in ={{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}^{\bot }}$$。
結局、
$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}^{\bot }\subset {{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}^{\bot }+{{H}_{\left( -a,\infty \right)}}^{\bot }\subset}$$ $${\overline{{{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}^{\bot }+{{H}_{\left( -a,\infty \right)}}^{\bot }}={{\left( {{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}} \right)}^{\bot }}}$$
いいかえれば
$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}\supset \left( {{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}} \right)}$$
逆の包含関係はあきらかであるので
$${{{H}_{\left( -a,a \right)}}=\left( {{H}_{\left( -\infty ,a \right)}}\cap {{H}_{\left( -a,\infty \right)}} \right)}$$
となる。
証明おわり。
 
 
 
計算は極めて簡単である。しかし、Hardy族の性質をあちこちで使っており証明の筋道を追うのは大変である。そこで、利用した事柄をすこしまとめておこう。
$${{{L}^{2}}={{L}^{2}}\left( dx \right)}$$ 2乗可積分関数でつくるHilbert 空間、内積$${\left( \cdot \,\,,\,\cdot \right)}$$
$${{{L}^{2}}\left( fdx \right)}$$重み関数$${f\left( x \right)dx\ge 0}$$に関して:2乗可積分関数でつくるHilbert 空間、内積$${{{\left( \cdot \,\,,\,\cdot \right)}_{f}}}$$
$${{{L}^{2}}={{H}^{2+}}\oplus {{H}^{2-}}}$$ 直和分解
$${\varphi \in {{H}^{2+}}}$$, $${\psi \in {{H}^{2-}}}$$のとき、$${\left( \varphi ,\psi \right)=0}$$
$${{{H}^{2+}}}$$, $${{{H}^{2-}}}$$ハーディ空間
$${{{\left( {{H}^{2+}} \right)}^{\bot }}={{H}^{2-}}}$$
a) $${g\in {{H}^{2+}}}$$$${\Leftrightarrow }$$$${g\left( x \right)\in {{L}^{2}}}$$かつ$${g\left( x \right)}$$の複素平面への拡張がとれて
$${g\left( z \right)=g\left( x+iy \right)}$$ は$${y>0}$$で解析的
$${\Leftrightarrow g\in {{L}^{2}}}$$ かつ$${\hat{g}\left( \lambda \right)=0,\lambda <0}$$ ただし、 $${\hat{g}\left( \lambda \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{-i\lambda x}}g\left( x \right)dx}}$$$${=\mathcal{F}g}$$フーリエ変換
b)$${h\in {{H}^{2-}}}$$$${\Leftrightarrow }$$$${h\left( x \right)\in {{L}^{2}}}$$かつ$${h\left( x \right)}$$の複素下半平面への拡張がとれて$${h\left( z \right)=h\left( x+iy \right)}$$ は}$${y<0}$$で解析的
$${\Leftrightarrow h\in {{L}^{2}}}$$かつ$${\hat{h}\left( \lambda \right)=0,\lambda >0}$$
 
$${\mathcal{F}{{L}^{2}}={{L}^{2}}}$$ 、$${{{\mathcal{F}}^{-1}}{{L}^{2}}={{L}^{2}}}$$

$${\bigcup\limits_{t\ge 0}^{\infty }{\left\{ {{e}^{ixt}}g\left( x \right) \right\}={{H}^{2+}}}}$$

$${\bigcup\limits_{t\ge 0}^{\infty }{\left\{ {{e}^{-ixt}}\bar{g}\left( x \right) \right\}={{H}^{2-}}}}$$