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Chapter9は始点と終点を固定した経路で、経路をわずかに変化させた場合の測地線について考える。

図の様に始点と終点を固定した状態の経路（ただしヌルではない）において、$${\int ds}$$は始点と終点を固定した状態で経路が微小変化しても保存する。以下、これを見ていく。

それぞれの点が座標$${z^{\mu}}$$で表される経路を考える。この経路が軌道に沿って$${z^{\mu}+\delta z^{\mu}}$$微小変化するとき、世界長は

$$
ds^2=g_{\mu\nu}dz^{\mu}dz^{\nu}
$$

である。したがって、経路の微小変化に伴う世界長の微小変化は

$$
\begin{aligned}
2 d s \delta(d s) &=d z^\mu d z^\nu \delta g_{\mu \nu}+g_{\mu \nu} d z^\mu \delta d z^\nu+g_{\mu \nu} d z^\nu \delta d z^\mu \\
&=d z^\mu d z^\nu g_{\mu \nu, \lambda} \delta z^\lambda+2 g_{\mu \lambda} d z^\mu \delta d z^\lambda
\end{aligned}
$$

右辺第一項で、$${\delta g_{\mu\nu}=\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial z^{\lambda}} \delta z^{\lambda}}$$を使った。

この式の両辺を$${2ds}$$で割りつつ、$${dz^{\mu}=v^{\mu}ds}$$を用いると、

$$
\delta(d s)=\left(\frac{1}{2} g_{\mu \nu, \lambda} v^\mu v^\nu \delta z^\lambda+g_{\mu \lambda} v^\mu \frac{d \delta z^\lambda}{d s}\right) d s .
$$

となるので、

$$
\delta \int d s=\int \delta(d s)=\int\left[\frac{1}{2} g_{\mu \nu, \lambda} v^\mu v^\nu \delta z^\lambda+g_{\mu \lambda} v^\mu \frac{d \delta z^\lambda}{d s}\right] d s .
$$

である。始点と終点で$${\delta z^{\lambda}=0}$$という条件を用いると$${\left[g_{\mu\lambda} v^{\mu}\delta z^{\lambda}\right]^{Q}_{P}=0}$$なので、この事を利用して部分積分を行うと、

$$
\delta \int d s=\int\left[\frac{1}{2} g_{\mu \nu, \lambda} v^\mu v^\nu-\frac{d}{d s}\left(g_{\mu \lambda} v^\mu\right)\right] \delta z^\lambda d s\tag{9.1}
$$

となる。これが任意の$${\delta z^{\lambda}}$$に対して成り立つためには、

$$
\frac{d}{d s}\left(g_{\mu \lambda} v^\mu\right)-\frac{1}{2} g_{\mu \nu, \lambda} v^\mu v^\nu=0\tag{9.2}
$$

が成り立てば良い。

今、

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d s}\left(g_{\mu \lambda} v^\mu\right) &=g_{\mu \lambda} \frac{d v^\mu}{d s}+g_{\mu \lambda, v} v^\mu v^\nu \\
&=g_{\mu \lambda} \frac{d v^\mu}{d s}+\frac{1}{2}\left(g_{\lambda \mu, \nu}+g_{\lambda \nu, \mu}\right) v^\mu v^\nu .
\end{aligned}
$$

なので、式（9.2）は

$$
\frac{d}{d s}\left(g_{\mu \lambda} v^\mu\right)-\frac{1}{2} g_{\mu \nu, \lambda} v^\mu v^\nu=g_{\mu \lambda} \frac{d v^\mu}{d s}+\frac{1}{2}\left(g_{\lambda \mu, \nu}+g_{\lambda \nu, \mu}\right) v^\mu v^\nu-\frac{1}{2} g_{\mu \nu, \lambda} v^\mu v^\nu
$$

となるが、式（7.5）のクリストッフェル記号の定義より、この式は

$$
g_{\mu \lambda} \frac{d v^\mu}{d s}+\Gamma_{\lambda \mu \nu} v^\mu v^\nu
$$

となる。この式に$${g^{\lambda \sigma}}$$をかけると、

$$
\frac{d v^\sigma}{d s}+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma v^\mu v^\nu
$$

となるが、これは式（8.3）の測地線方程式より

$$
\frac{d v^\sigma}{d s}+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma v^\mu v^\nu=0
$$

である。

したがって、$${\delta\int ds=0}$$となり、$${\int ds}$$は経路の微小変化に対して安定であることが示された。逆に、$${\int ds}$$が安定なら、その経路は測地線であることが言える。したがって、安定性の条件は測地線の定義に使える。ただし、ヌル測地線の場合は除く。

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