いきなり始めてみました。。w
　完璧な和音の勉強ではありませんが、かなりの部分をショートカットしてコードを付けてみよう、という解説です。

　鼻歌といっても色々あり、実際に曲にコードを付ける事をちゃんと学ぶにもかなり長くなる（書く側も自信のない部分があったり汗）ので、ここではシンプルにするため、使う音は「ドレミファソラシド」を用い、使うコードも4つにします。

　そして本当にかなりざっくりで基礎的なので、複雑な曲には当て嵌まりません。ま、鼻歌ですしね。。。w
その辺は今度、総合的な解説をしようと思っていますので御了承ください。

まずは日常的に覚えておいてほしい感覚がありまして。

長調の代表である「ドレミファソラシド」と短調の代表「ラシドレミ（ファソラと続きますが重要なのは最初の5つだけ）」の感覚。出来ればドとソの間隔の感覚も。
ですがこの感覚は歌好きやカラオケに良く行ってれば自然と身に付いてると思います:)

参考までに：
ドレミファソが使われてる曲：「こぎつねこんこん」の出だし、となりのトトロの「となりのト（ットロ〜♪）」
ラシドレミが使われてる曲：globe「Departures」の「どこまでもー♪」の部分

次にざっくりと、どの曲にもけっこう当て嵌まる特徴をまとめると：

・調を調べる事で、使われるコードが限定され、分かりやすくなる。

・基本的に、明るい系、楽しい系、優しい系なら長調。悲しい系、辛い系は短調。具体的には音階の3つめが悲しい感じなら短調、そうでないなら長調。

・大抵、歌の最後の音はその調の主音、最初の音はその調の主音を基本とする和音の構成音。そして同じ和音である事が多い。

・歌の出だし（Aメロ）を繰り返す直前や、曲が展開する時やサビに入りそうな感覚は大抵五番目の音（ここではソ）か、その音を基本とする和音の構成音。

・各小節の最初の音が大抵和音の構成音。たまに3拍目に違う和音が入る事も。

そこを踏まえて、コードを付けてみましょう。

・拍子を調べる
ドン，タン、タン、タン、なら4拍子、ドン、タン、タンなら三拍子。

・メロディの構成音を調べる
※楽器を弾ける状態でなおかつ、ドレミファソラシドで曲を作って行く場合はここを飛ばして「コードを当て嵌めてみる」に飛んで下さい。

歌の最後の音は大抵その調の主音なので、その音を始めにして「ドレミファソラシド」を歌ってみる。悲しい場合は「ラシドレミファソラ」。
その音階の感覚を持ちつつ、歌の各音がそれに当て嵌まっているかを調べます。

3番目の音が悲しく感じる音であったら短調なので「ラシドレミファソラ」と読み替え、そうでなかったら長調で「ドレミファソラシド」と読んで下さい（ここでは実際の音とは別の呼び方をして構いません）。

ド（短調ではラ）に当たる音＝主音（この音が大事）、ミ（ド）に当たる音、ソ（ミ）にあたる音が、音階と同じ感覚なら大丈夫。

注意：
　頭の中で思いついた鼻歌が「ドレミファソラシド」で作られているとは限らないので、実際にピアノなどで音を出す時は、予想していた音の高さと違う場合があります。
　これは「実際の調」が違うからなんですが、カラオケのキー調整と同じで高さは違っても流れは同じです。

　実際に音にする際、イメージしていた音と違ってこんがらがる事があるので、歌って録音するなどチェック出来る様にしてから、一音一音ゆっくりとドレミファソラシドにずらして行って下さい。
　鼻歌の主音と、実際のドやラまでいくつズレているかを黒鍵を含めて数え、全てのメロディ音を同じだけズラします。

・コードを当て嵌めてみる
使うコードは4つ。CやF等は、和音を示す記号です。
まずそれぞれの構成音は以下の通り。

・C（ド、ミ、ソ）
・F（ド、ファ、ラ）
・G（シ、レ、ソ）
・Am（ド、ミ、ラ）

まずコード進行の基礎として：
・曲の最初と最後のコードは大抵、長調ならC、短調ならAm
・曲が展開する直前や、最後のコード（CかAm）の1つ前は大抵、G。その前にFが来る事も多々。つまりG＞CやF＞G＞Cという流れは割と多い。

これが合わない場合も含め、それ以外の所は下記の方法でコードをあわせてみましょう。

次に、4拍子、3拍子ともに各小節の最初の音が大抵和音の構成音なので、その音に対して以下を参考にコードをつけます。

・ドの場合：C、F、Am。
　　悲しく始まって明るく終わるなら最初Am,最後C。
　　逆にしたい時は最初C、最後Am。
・レの場合：G
・ミの場合：C、Am
・ファの場合：F
・ソの場合：G、C
・ラの場合：Am、F
・シの場合：G

コードは基本的に1小節ごとにチェックします。たまに1小節内の1拍目、3拍目で変わる事もあります。

　これらはあくまで目安であって、ケースバイケースで違います。印象と違っていても上記4つのコードのどれかが割と合う筈ですので、違っている場合は他のコードを弾いてみて下さい。
　また弾いてみて違和感があっても、その次のコードを弾く事で「あ、なるほど」と納得する場合があるかもしれません。

・弾き方（ピアノの場合）
上記を参考に、右手で三つの音を拍子に合わせて弾きます。
同時に左手で、右手より低い所で以下を参考に弾いてみて下さい。

C：ド
F：ファ
G：ソ
Am：ラ

・必要なら音の高さを戻す
　これで一応歌にコードが付いたのですが、メロディを「ドレミファソラシド」に合わせたため、キーが予想より高く/低くなってしまって歌いにくい事もあります。

　気になる様だったら、今度はメロディを元の高さに戻すのもアリです。ちょっと手間になりますが、メロディとコードの構成音を全て、黒鍵を含めて1音1音ずらして行く事で、メロディを元の高さに戻して、それに合ったコードを付ける事が出来ます。
（この辺を理屈で説明するとかなりややこしくなるので、ここでは割愛しています）

電子楽器やDAW（楽曲作成ソフト）によってはトランスポーズ機能を使う事で、最初に予想していた音と実際の音の差を埋める事が出来ます。

　参考までに、がきえさんが「3コードで弾ける曲メドレー(ピアノ弾き語り)」という動画をupして下さってるので、上記を当て嵌めつつ聴いてみると感覚が掴みやすくなると思います。

　以上です。超ざっくりなので後で追記修正などすると思います。
　質問などあればどうぞ:)
　また上記の通り、もっと総合的な和音の構成と付け方を別途掲載予定なので、そちらも参考にして頂ければと思います。