「数学B」分野のうち、【数列】漸化式について解説します。
ここからは、全14型を順に取り上げて行きましょう。
ただし、全ての型は、「基本４型」を用いて解いて行きますので、まずは、「基本４型」のマスターから。

〈５型〉逆数をとる→等差数列

  a[n+1]=a[n]/( p*a[n]+1)、a[1]＝a
・a[n]が単独で分子にあり、分母がa[n]の一次式になっている型です。
・分母の最後が1であるため、「等差数列」に帰着します。
・例題のように、分子の係数と分母の定数が同じ場合も「等差数列」になりします。

［Method]
漸化式の右辺が分数になっていて、「a[n]が分子に独りぼっち」なときは、この型です。分母が＋、－などの入った整式なので、約分はできませんよね。なので、逆数にすることで、部分分数に分けながら、約分を可能にしています。
そのあと、5型、6型のどちらかになります。どちらの方になっても、自信をもって解答を進めていきますが、最後に、もう一度、逆数をとって、a[n]= にするのを忘れないように気をつけましょう。

［解法]
逆数をとると、
1/a[n+1]=( p*a[n]+1)/a[n]より、1/a[n+1]=p+1/a[n]
となります。
数列{1/a[n]}は、「階差数列」ですね。
初項は、1/a[1]＝1/a
公差は、p　
「階差数列」の公式から、
1/a[n]=1/a+(n-1)p
最後に、再度逆数をとり、
a[n]=1(1/a+(n-1)p)