「数学B」分野のうち、【数列】漸化式について解説します。
ここからは、全14型を順に取り上げて行きましょう。ただし、全ての型は、「基本４型」を用いて解いて行きますので、まずは、「基本４型」のマスターから。

〈7型〉 q＾(n+1)で割る

例）a[n+1]=p*a[n]+q^(n+1)
・右辺の末尾に指数q^(n+1)がある型です。

［Method]
漸化式の右辺の末尾に、(n+1)乗、n乗などの指数があるとこの型になります。
左辺がa[n+1]であることから、(n+1)乗、n乗などの指数の値に関係なく、番号を合わせるために、必ず、(n+1)乗で割るのがMethodです。そうすることで、左辺の番号が[n+1]になります。
次に、a[n]の係数についても、約分をして、番号が[n]になるようにしていきます。指数の計算が必要ですね。不得意な人は多いようです。復習しましょうね。

［解法]
両辺をq^(n+1)で割ります。
a[n+1]/q^(n+1)=p*a[n]/q^(n+1)+1より、a[n+1]/q^(n+1)=p/q*a[n]/q^n+1
となります。
数列{a[n]/q^n}は、「特性方程式による解法」の形をしていますね。
b[n+1]=p/q*b[n]+1