水平方向に $${x}$$ 軸，鉛直下方に $${y}$$ 軸をとる．
原点から，曲線 $${y=y(x)}$$ に沿って降下する物体が，点$${(x_1,y(x_1))}$$ まで最速で到達するような曲線を求める．
原点から点 $${(x, y(x))}$$ までの曲線の長さを $${s(x)}$$ とすると，物体の速さは

$$
v=\frac{ds}{dt}
$$

また，エネルギーの保存則より $${\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgy}$$ だから $${v=\sqrt{2gy}}$$．
したがって

$$
\frac{ds}{dt}=\sqrt{2gy}
$$

これより

$$
dt=\frac{ds}{\sqrt{2gy}}=\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2gy}}=\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx
$$

よって，降下に要する時間は

$$
T=\int_0^{t(a)}dt=\int_0^a\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx
$$

となり，これが最小になるような関数 $${y(x)}$$ を求めればよい．$${\displaystyle f=\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}}}$$ とおく．$${f}$$ がオイラーの方程式を満たすように $${y}$$ を決めるが，$${f}$$ は陽に $${x}$$ をもたないのでベルトラミの公式により $${y}$$ を求める．

$${\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^2}}}$$ を $${\displaystyle f-y'\cdot\frac{\partial f}{\partial y'}=C~(Cは定数)}$$ に代入することにより，微分方程式

$$
y(1+y'^2)=A~(Aは定数)
$$

が得られる．これより

$$
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & =\sqrt{\frac{A-y}{y}} \
x & =\int\sqrt{\frac{y}{A-y}}\,dy
\end{align*}
$$

この積分を計算するために $${y=A\sin^2\varphi}$$ とおくと，$${dy=2A\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi}$$ であるから

$$
\begin{align*}
\int\sqrt{\frac{y}{A-y}}\,dy & =2A\int\sin^2\varphi\,d\varphi \
& =\frac{A}{2}(\theta-\sin\theta)+B
\end{align*}
$$

となる．($${2\varphi=\theta}$$ とおいた．$${B}$$ は定数)
$${y=0}$$ のとき $${x=0}$$ でなければならないので $${B=0}$$．よって

$$
x=\frac{A}{2}(\theta-\sin\theta),~~y=\frac{A}{2}(1-\cos\theta)
$$

が得られる．これはサイクロイド曲線を表す．

【参考文献】
原島鮮『力学II -- 解析力学 --』裳華房1973

メモ
この投稿の中で \mathstrut を使いたかったが，このコマンドは正しく処理されないようだ．少し調べてみると，\phamtom や \vphantom，\rule なども正しく処理されないことが分かった．