気になったのでoxford dictionaryとWeblioで確かめてみた

trust: 

Oxford：
to have confidence in somebody; to believe that somebody is good, sincere, honest, etc. 

Weblio：
〈人・物事を〉信用する，信頼する，信任する，〈…に〉信を置く.

believe:

Oxford:
to feel certain that something is true or that somebody is telling you the truth.

Weblio:
〈人・ものを〉信じる，〈人の〉言うことを信じる，〈…を〉正しい[本当だ]と思う.

両者とも1番目の意味をここに貼り付け比較した結果、

trustは相手自身に、believeは物や相手の発言内容に
対象が置かれていることが分かります。

意味の似ている単語は特に、英英辞典と英和辞典の両刀使いをするとバッチリ理解できますね。

See you tomorrow(^▽^)/