ゆらぎを伴う微分方程式

ランダムなゆらぎ�(�)を考え、それによって動かされる粒子の位置�(�)が微分方程式(1)��(�)��=�(�)で変化するようなモデルを考えてみよう。 ここで、 ゆらぎの平均は0、すなわち�番目のサンプルの揺らぎの時系列を��(�)とすれば⟨�(�)⟩=lim�→∞1�∑�=1���(�)=0で、自己相関が⟨�(�)�(�+�)⟩=lim�→∞1�∑�=1���(�)��(�+�)=��(�)であるような場合を考える（�(�)はデルタ関数）。 そして、これらの関係は時間の原点には依らずに成り立つ（�(�)は定常的）と仮定する。

この種の確率的（ランダム）な変数を含む微分方程式は確率微分方程式（stochastic differential equation）と呼ばれている。 確率微分方程式を数値的に解くには、ゆらぎの部分の扱い方に、通常の常微分方程式には無かった注意が必要である。

確率微分方程式の差分化

ここで、時間�をΔ毎の区間に[0,Δ), [Δ,2Δ), [2Δ,3Δ),⋯,[�Δ,(�+1)Δ),⋯のように等分割して、 �番目の区間の揺らぎの累積（積分）を��=∫�Δ(�+1)Δ�(�)��と定義する。 すると、そのサンプル平均は⟨��⟩=lim�→∞1�∑�=1�∫�Δ(�+1)Δ��(�)��=∫�Δ(�+1)Δ⟨�(�)⟩��=0分散は⟨����+ℓ⟩=lim�→∞1�∑�=1�(∫�Δ(�+1)Δ��(�)��)(∫(�+ℓ)Δ(�+ℓ+1)Δ��(�)��)=lim�→∞1�∑�=1�(∫�Δ(�+1)Δ��(�)��)(∫�Δ(�+1)Δ��(�+ℓΔ)��)=∫�Δ(�+1)Δ∫�Δ(�+1)Δ[1�lim�→∞∑�=1���(�)��(�+ℓΔ)]����=∫�Δ(�+1)Δ∫�Δ(�+1)Δ⟨�(�)�(�+ℓΔ)⟩����=∫�Δ(�+1)Δ∫�Δ(�+1)Δ��(�+ℓΔ−�)����=�∫�Δ(�+1)Δ{∫�Δ+ℓΔ−�(�+1)Δ+ℓΔ−��(�)��}��となる。 ここで、デルタ関数の積分∫�Δ+ℓΔ−�(�+1)Δ+ℓΔ−��(�)��は、ℓ=0の場合に限り、�Δ≤�≤(�+1)Δの範囲で積分区間が�=0を「通過」すること、 および �>0 に対して ∫0−�0+��(�)��=1 を考慮すると、⟨����+ℓ⟩=�Δ�0,ℓが得られる（�0,ℓはクロネッカーのデルタ）。

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