一昔前に「モーツァルト効果」なる物がまことしやかに囁かれ、今でもその仮説に便乗したビジネスを時折見かけます。ただの音の羅列がどのようにして多様なクオリアを呼び起こし、こうも感情を揺さぶるのかはとても興味深い問題と言えますが、物質還元的にとらえれば、音楽と言えども、結局は空気の複雑な粗密波に過ぎません。

西洋音楽の歴史を辿ると、「音」を「物理現象」としてとらえる見方と非常に親和性が高いことが分かります。単純な倍音の原理からピタゴラスの音律※１を作ると、自然と12音音階が導かれ、さらに平均律※２に至ると美しい代数構造を持ちます（とともに、音の響きの美しさは損なわれる、という点も興味深い）。

すでに音律の代数構造については良書が出ていますが※３、ここでは改めてそのエッセンスを辿りましょう。

音色の心地よさを数学的に理解しよう

古典的な西洋音楽では、音楽に使われる音は「楽音」と呼ばれ、一つの楽音には基準となる一つの振動数が割り当てられます。これをその音の「音高」と呼ぶ場合もあります。
現在、楽器の調律では音高A3（振動数440Hz）が基準に取られることが多いです。
これは、空気が一秒間に440回振動するような波に相当します。その粗密の時間変化を図示すると、次のようなグラフになります。

この音高A3に「もっとも近い音」は何にあたるでしょうか。

一つの答えは、A♯3やA♭3といった、「半音離れた音」です。
これは正確に言えば、「現在、一般的に使われる12音音律において、振動数がもっとも近い音」という意味合いでの「近い音」になります。

しかし、そもそも１オクターブを離散的な12音に分ける12音音律は、必ずしも必然的な規則ではありません。実際、人の声や弦楽器では、ある音高から別の音高へ滑らかに移行することができ、1オクターブを何段階にでも分けることができます。

そこで、別の定義によって「近い音」を定義しましょう。

ゴムひもをある力で引っ張り、指ではじいたときにA3の音（440 Hz）で振動するようにします。ゴムひもの振動を細かく見ると、その振動数は厳密に440 Hzだけではありません。
その２倍の880 Hz（2倍音）や、３倍の1320 Hz（3倍音）も、かすかに観測されるはずです。さらに4倍、5倍の音も存在しますが、その強さは倍音の次数（2倍音、3倍音、…… の数字）が高くなるほど弱くなります。
このような、基準となる元の振動数の整数倍の振動数に対応する音を、元の音の「倍音」と呼びます。ゴムひもをつま弾くと、ある基音A3と、その2倍音A4、3倍音E5、などが同時に鳴ります。

ここで、同じゴムひもをもう一本用意し、引っ張る強さを変化させていきながら2本のひもを同時に弾きます。ゴムひもを引っ張る強さが全く同じとき、双方が発する音は一致し、一際強く響くことでしょう。
そこからさらに強く引っ張っていくと、ちょうど強さが4倍になったときに、再び響きが強くなるはずです。これは、2番目のゴムひもの基音（880 Hz）が、1番目のゴムひもの二倍音と一致するためです。
さらに、２番目のひもの2倍音も、1番目のひもの4倍音に一致します。

このように、「ある音に対して音高を高くしていったときに、それぞれの倍音がもっとも多く一致する音」を、「近い音」と定義するとどうなるでしょうか。
上の例の通り、ある音に対して2倍音に相当する音（1オクターブ上の音）が、もっとも「近い」ということになります。同様の理屈で、1オクターブ下の音も、「近い音」とみなすことができます。

この定義に基づくと、次に近い音は何でしょうか？

すでに察している人もいるかもしれませんが、元の音の3倍音に当たる音です。これは現代的に言えば、1オクターブ上のさらに5度上の音になります。
人間の耳で聴くと、1オクターブ離れた音同士はほぼ同音のように聞こえる一方、この「5度」の音は、元の音とは異質な音のなかで最も「近い」音ということになります。
ピタゴラス音律は、この意味で「異質で近い音」を順々に繋げていくことにより、構成されています。

次回後編⑪につづく


プロフィール
小澤直也（おざわ・なおや）
1995年生まれ。博士（理学）。
東京大学理学部物理学科卒業、東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了。
現在も、とある研究室で研究を続ける。

７歳よりピアノを習い始め、現在も趣味として継続中。主にクラシック（古典派）や現代曲に興味があり、最近は作曲にも取り組む。

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