前編はこちらから

（少しだけおさらい）

”なぜ”をひたすら続けると

数学でも物理でも、「なぜ」という問いをひたすら続けていくと、どこかの段階で堂々巡りに陥り、どう考えても答えの出ない問いまで行きつきます。そのとき、理論の連鎖の源流に当たる命題を、「原理」や「公理」という名のもとに「正しい」、と仮定するほかに方法がありません。これは科学の限界であるとともに、美しさでもあります。つまり、いくつかの「原理」や「公理」だけを仮定すれば、個々の事象は自然な演繹で導かれるという、いわば「なんでも理論」を構築出来るような枠組みになっています。
当然、実際にはそう簡単には行かないわけですが……。

ここからは数学を使って確認していきます

この美しさは、実際の例で確認するのがもっとも分かりやすいでしょう。そのためには物理の言語である数学を使わずには不可能ですので、ここからは上級者向けだと思ってください。
物理における原理として真っ先に思い浮かぶのが、「最小作用の原理」でしょう。漠然とした概念なので、具体例に言い換えましょう：

さて、高校で物理を学んだ人なら、言わずと知れたニュートンの運動方程式※1 F = ma から出発することでしょう。確かに、この式を覚えてしまえばテーブルの上のビー玉の運動は辿ることができます。

しかし、そもそもニュートンの運動方程式はなぜ成り立つのでしょうか？
加速度aは、速度vの時間微分であり、位置xの二階時間微分です。
これが、本来ビー玉とは無関係な外力Fに比例していて、しかもその比例係数がちょうどビー玉の質量mになっているというのは、果たして当たり前のことなのでしょうか？

最小作用の原理

こういった疑問点をすべて一つの指導原理に集約したのが、最小作用の原理です。
作用Sという量は、ラグランジアンLという量を時間について積分することで得られます※2。ラグランジアンの定義も抽象的ですが、もっとも基本的な場合では運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差で定義されます※3。
テーブルが完璧に水平だった場合、ビー玉は何も力を受けません。したがって、系※4はビー玉の動く速さvだけで特徴づけることができます。ポテンシャルエネルギーはどの位置でも等しいため、ラグランジアンは運動エネルギーそのものになります。

$$
L = \frac{1}{2}mv^2
$$

この時、作用は

$$
S = \int L dt = \frac{1}{2}m \int v^2 dt
$$

となり、その作用が最小となる点は、多少速度 v が変わっても作用の値が変わらない点（停留点）になります。したがって、

$$
\frac{d}{dt}v = 0
$$

が導かれます。

これはしごく当たり前の結果のように思われるかもしれません。
それもそのはず、最小作用の原理はニュートンの法則を再現するように構築された枠組みなので、そこから導かれる結果の多くは、既に観測事実として知られていることになります。

「事象を数式で表す」とは＆まとめ

自然科学において「事象を数式で表す」とは、「いかに自然現象を記述できるか」という問題であり、きっとあらゆる学問に共通するであろう、「常識の再構築」に他なりません。ただし、哲学で問題になるような「『私』とは何か」「なぜ人を殺してはいけないのか」といった「常識」は多くの人がすでに答えを知っている（わけではないが、知っているつもりになっている）のに対し、自然科学における「常識」は「物質を構成する最小単位とその性質は何か」「なぜ時間は過去から未来にしか進まないのか」といった、答えが自明ではないことが多いものです。

現在教科書に載っている自然科学の「常識」（と、少なくとも今は思われているもの）も、今のところもっともらしい説に過ぎません。
数学という抽象的な言語の世界でその常識を再構築する中で、実は常識が誤っていたと分かるたびに、自然科学は一段ずつ深化するのです。

プロフィール
小澤直也（おざわ・なおや）
1995年生まれ。博士（理学）。
東京大学理学部物理学科卒業、東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了。
現在も、とある研究室で研究を続ける。

７歳よりピアノを習い始め、現在も趣味として継続中。主にクラシック（古典派）や現代曲に興味があり、最近は作曲にも取り組む。

この連載を最初から読む方はこちら