はじめに

本Noteでは，櫻坂46・日向坂46応援［公式］音楽アプリであるUNI'S ON AIRにおけるMEMBER YELL RANKINGとON Your Markの最適な走り方の考察を行う．いくら理論的な考察をしたところで実際に走るのは人間であるため本人の稼働力・精度（・資金力）などが最も大事なのは言うまでもないが，ここでの考察は例えば以下のような点で役に立つと考えられる．

• イベント中やイベント後に，理論値に比べて自分の走りにどれだけロスがあったかどうか（=自分がどれだけサボっているのか・精度が落ちているのか）が分かる．

• スコアランクSS取り続けてでも稼働したほうがいいか，SSSを取れるようになるまで一旦寝たほうがいいか，のように総合獲得ポイントを最大化するための判断材料になる．

• MYRにおいて，自分が2レーン目を狙う場合にレーン変更タイミングの判断材料になる．また，逆に他レーンにいる上位勢が自分のレーンにもし来たとすると最大でどれくらいのポイントを盛ってくるかを予想できる．

• OYMにおいて，3倍消費回数をジェムによって追加できるため，それによって獲得できるポイント増加とジェム消費のトレードオフ検討ができる．

文字の定義

本Noteで用いる文字の定義は以下で与えるものとする．場合によってはゲーム内では異なる名称が用いられることもあるが，ここではイベント楽曲をプレイするために必要なイベントアイテムのことを統一してサイリウムと呼ぶことにする．特に断りがない限りは，ドット付きの変数は，その変数の時間微分，あるいはそれに相当する平均変化率を表す．

• $${T_{total}}$$[s] : イベント総時間

• $${T_{loss}}$$ [s] : 睡眠時間などのゲームを一切プレイしていないロス時間の合計

• $${T_n}$$ [s] : 通常曲をプレイするのに費やす時間．ただし，リザルト時間も含める．3倍消費でプレイする時間は含めない．

• $${T_{3n}}$$ [s] : 通常曲を3倍消費でプレイするのに費やす時間．ただし，リザルト時間も含める．

• $${T_e}$$ [s] : イベント曲をプレイするのに費やす時間．ただし，リザルト時間も含める．3倍消費でプレイする時間は含めない．

• $${T_{3e}}$$ [s] : イベント曲を3倍消費でプレイするのに費やす時間．ただし，リザルト時間も含める．

• $${t_n}$$ [s] : 通常曲を1回プレイするのに費やす時間．ゲーム画面上で表記されている時間に等しい．リザルト時間は含めない．

• $${t_{3n}}$$ [s] : 通常曲3倍消費を1回プレイするのに費やす時間．基本的に3倍消費は楽曲時間の長い曲をプレイしたほうが効率が良いことが知られており，$${t_n}$$と区別することにする．ゲーム画面上で表記されている時間に等しい．リザルト時間は含めない．

• $${t_e}$$ [s] : イベント曲を1回プレイするのに費やす時間．ゲーム画面上で表記されている時間に等しい．リザルト時間は含めない．

• $${t_{nr}}$$ [s] : 通常曲を1回プレイするときのリザルト時間．リザルト時間と呼んではいるが，厳密には「リザルト画面→（表フィーバー画面）→（MYRであれば必要に応じてポイントを振りに行く画面）→曲選択画面→編成選択画面→楽曲開始」の一連の合計時間を指す．基本的に曲の種類には依存しないが，表題曲などの特殊演出が入る場合は通常よりも時間が長くなることに注意する．また，フィーバーを全て無視して通常曲をプレイするのか，フィーバー即拾いするのかなどによってリザルト時間の平均値が変わることに注意する（フィーバーを全て無視する場合は，フィーバーが出る頻度が減るため，平均リザルト時間も短くなる）． 

• $${t_{er}}$$ [s] : イベント曲を1回プレイするときのリザルト時間．リザルト時間と呼んではいるが，厳密には「リザルト画面→（表フィーバー画面）→（MYRであれば必要に応じてポイントを振りに行く画面）→曲選択画面→編成選択画面→楽曲開始→（裏フィーバー画面）」の一連の合計時間を指す．基本的に曲の種類には依存しないが，表題曲などの特殊演出が入る場合は通常よりも時間が長くなることに注意する．

• $${C_n}$$ [本] : 通常曲を1回プレイしたときのサイリウム獲得本数．通常曲の楽曲時間倍率により$${C_n}$$の値は変わり，さらに同じ倍率の曲でも確率で4通りの値を取りうるので，固定値ではない．

• $${\bar{C}_n}$$ [本] : 通常曲を1回プレイしたときのサイリウム獲得本数の期待値．

• $${\dot{\bar{C}}_n}$$ [本/s] : 通常曲をプレイするときのサイリウム獲得本数の秒速．フィーバーを全て無視して通常曲をプレイするのか，フィーバー即拾いするのかなどによってリザルト時間の平均値が変わってくるため，$${C_n}$$の値も変わることに注意する．

• $${\dot{C}_e}$$ [本/s] : イベント曲をプレイするときのサイリウム減少本数の秒速．

• $${p_{s}}$$ [%] : 所持シーンカードによる特攻．

• $${p_{fev}}$$ [%] : 表フィーバーによるボーナス．

• $${p_{spfev}}$$ [%] :  裏（サプライズ）フィーバーによるボーナス．

• $${p_{exfev}}$$ [%] :  エクストラフィーバーによるボーナス．（OYMのみ）

• $${p_{fc}}$$ [%] :  フルコンボ達成によるボーナス．

• $${s_{n}}$$ [pt] : 通常曲を1回プレイするときに得られる基礎スコア．スコアランク，楽曲レベルによって変わる．

• $${s_{3n}}$$ [pt] : 通常曲3倍消費を1回プレイするときに得られる基礎スコア．スコアランク，楽曲レベルによって変わる．3倍する前の値とする．一般的に3倍消費でプレイする楽曲は1倍消費の時とは異なるため，文字を区別して記載している．

• $${s_{e}}$$ [pt] : イベント曲を1回プレイするときに得られる基礎スコア．スコアランク，楽曲レベルによって変わる．

• $${B_{add}}$$ [個] : イベント期間中に手に入れたブーストアイテムの総数．

MEMBER YELL RANKING

通常曲とイベント曲それぞれの総プレイ回数の導出

まず，時間とサイリウム本数に関する方程式を以下のように連立する．時刻に関してはイベント総時間$${T_{total}}$$をそれぞれ細分化して分割した各時間の和として表したものである．一方でサイリウム数に関しては，最適な走りとなるのは獲得本数と消費本数が等しくなり，イベント終了時に所持サイリウム数がちょうど0になるときである，という条件を数式で表したものである．

$$
\begin{cases}
T_{total} &= T_{loss} +T_n + T_{3n} + T_e + T_{3e} \\
0 &= \sum_{i=1}^{N_{n}}C_{i, n} + \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} + C_{add} - 50 \times N_{e} - 150\times N_{3e}
\end{cases}
$$

ここで，$${N_{n}}$$はランキング上位狙いで走っている場合には，十分に大きな値であるため$${\bar{C}_n}$$を用いて以下のように連立方程式を近似できる．

$$
\begin{cases}
T_{total} &= T_{loss} +T_n + T_{3n} + T_e + T_{3e} \\
0 &= N_{n}\bar{C}_{n} + \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} + C_{add} - 50 N_{e} - 150N_{3e}
\end{cases}
$$

ここで$${\dot{\bar{C}}_n, \dot{\bar{C}}_e}$$は以下の式で与えられる．

$$
\begin{cases}
\dot{\bar{C}}_n &= \frac{\bar{C}_n}{t_n + t_{nr}} \\
\dot{\bar{C}}_e &= \frac{50}{t_e + t_{er}}
\end{cases}
$$

また，通常曲の総プレイ回数$${N_n}$$，通常曲3倍消費の総プレイ回数$${N_{3n}}$$，イベント曲の総プレイ回数$${N_e}$$，イベント曲3倍消費の総プレイ回数$${N_{3e}}$$は以下の式で計算できる．

$$
\begin{cases}
N_n &= \frac{T_n}{t_n + t_{nr}} \\
N_{3n} &= \frac{T_{3n}}{t_{3n} + t_{nr}} \\
N_e &= \frac{T_e}{t_e + t_{er}} \\
N_{3e} &= \frac{T_{3e}}{t_e + t_{er}}
\end{cases}
$$

これらをもとの連立方程式に代入し，$${T_n, T_e}$$について解くと以下のような式になる．

$$
\left(
\begin{array}{r}
 T_n \\
T_e \\
\end{array}
\right)
=
\frac{1}{\dot{\bar{C}}_n + \dot{C}_e}
\left(
\begin{array}{rr}
\dot{C}_e & 1  \\
\dot{\bar{C}}_n & -1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{r}
&T_{total} - T_{loss} - N_{3n}\left(t_{3n} + t_{nr} \right) - N_{3e}\left(t_e + t_{er}\right)\\
&150N_{3e} - \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} - C_{add} \\
\end{array}
\right)
$$

これがリザルト時間も含めたそれぞれ通常曲とイベント曲をプレイするのに費やす総時間となり，総プレイ回数も計算できる．

$$
\begin{cases}
N_n = \frac{\dot{C}_e\left( T_{total} - T_{loss} - N_{3n}(t_{3n} + t_{nr}) - N_{3e} (t_e + t_{er}) \right) + 150N_{3e} - \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} - C_{add}}{(t_n + t_{nr})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)} \\
N_e = \frac{\dot{\bar{C}}_n\left( T_{total} - T_{loss} - N_{3n}(t_{3n} + t_{nr}) - N_{3e}(t_e + t_{er}) \right) - 150N_{3e} + \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} + C_{add}}{(t_e + t_{er})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)}
\end{cases}
$$

となる．多数の文字が含まれるが，右辺にある文字は，$${\sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n}}$$を除き，すべて固定値あるいはユーザー側の行動に依存して定まる値であり，これらの値から未知数である$${N_n}$$と$${N_e}$$が求まることが分かる．$${\sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n}}$$についても，これは3倍消費によって手に入るサイリウムの総本数であり，確率的な上振れ・下振れによって変動はあるもののある程度の期待値は簡単に計算できる．ただし，実際問題としては$${N_n}$$と$${N_e}$$よりもまず先に妥当な$${t_{nr}}$$と$${t_{er}}$$を求めるほうが良い．$${t_{nr}}$$と$${t_{er}}$$は実測値から直接求めることは理論上は可能だが，フィーバーが出るタイミングがランダムであったり，ポイントを振る時間も考慮しないといけなかったりと，かなり手間がかかるためである．$${N_n}$$と$${N_e}$$はユニエアのゲーム内画面で正確な増分を確認できるため，まずは確率的な要素が収束する長時間の1回分のイベランの結果を使って上記の式を$${t_{nr}}$$と$${t_{er}}$$に関する2変数の連立方程式と見立て，妥当な$${t_{nr}}$$と$${t_{er}}$$を求めるとよい．そのようにして求めた$${t_{nr}}$$と$${t_{er}}$$をベースに用いることで，様々なケースの$${N_n}$$と$${N_e}$$の計算に応用できる．

獲得ポイントの導出

通常曲とイベント曲をそれぞれプレイする回数が分かれば，実際に取得できるポイントの理論値を計算することができる．応援メンバー倍率をかけない場合の獲得ポイントは一般的に以下の式で表せる．

$$
S_{total} = \sum_{i=1}^{N_n} \left( s_{i, n} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fc}}{100} \right)
+ 3\sum_{i=1}^{N_{3n}}\left( s_{i, 3n} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fc}}{100} \right)
+ \sum_{i=1}^{N_e} \left( s_{i, e} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fev} + p_{i, spfev} + p_{i, fc}}{100} \right)
+ 3\sum_{i=1}^{N_{3e}}\left( s_{i, e} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fev} + p_{i, spfev} + p_{i, fc}}{100} \right)
+ (ブーストアイテム分)
$$

ここで，通常曲をプレイすることによって得られる総ポイントである$${\frac{1}{N_n}\sum_{i=1}^{N_n} \left( s_{i, n} \times \frac{100 + p_{i} + p_{i, fc}}{100} \right)}$$が一定の値$${\bar{S}_{n}}$$に収束し，イベント曲をプレイすることによって得られる総ポイントである$${\frac{1}{N_e}\sum_{i=1}^{N_e} \left( s_{i, e} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fev} + p_{i, spfev} + p_{i, fc}}{100} \right)}$$が一定の値$${\bar{S}_e}$$に収束すると仮定する．これは特に，特攻がイベント開始時点で全て実装されておりかつ十分大きい$${N}$$によって表フィーバー・裏フィーバーのように確率的な事象がある一定値に収束することを仮定することを意味する．このとき，獲得できる総ポイント$${S_{total}}$$は

$$
S_{total}= N_{n}\bar{S}_{n} + 3\sum_{i=1}^{N_{3n}}\left( s_{i, n} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fc}}{100} \right) + N_{e}\bar{S}_{e} + 3\sum_{i=1}^{N_{3e}}\left( s_{i, e} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fev} + p_{i, spfev} + p_{i, fc}}{100} \right) + (ブーストアイテム分)
$$

となる．こうして，最終的に獲得できる総ポイント$${S_{total}}$$の一般解は，以下で与えられる．

$$
S_{total} = \frac{\dot{C}_e\left( T_{total} - T_{loss} - N_{3n}(t_{3n} + t_{nr}) - N_{3e} (t_e + t_{er}) \right) + 150N_{3e} - \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} - C_{add}}{(t_n + t_{nr})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)}\times\bar{S}_{n} + 3\sum_{i=1}^{N_{3n}}\left( s_{i, n} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fc}}{100} \right) + \frac{\dot{\bar{C}}_n\left( T_{total} - T_{loss} - N_{3n}(t_{3n} + t_{nr}) - N_{3e}(t_e + t_{er}) \right) - 150N_{3e} + \sum_{i=1}^{N_{3n}}C_{i, 3n} + C_{add}}{(t_e + t_{er})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)} \times\bar{S}_{e} + 3\sum_{i=1}^{N_{3e}}\left( s_{i, e} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fev} + p_{i, spfev} + p_{i, fc}}{100} \right) + (ブーストアイテム分)
$$

考察 : ロス時間が獲得ポイントに与える影響

$${\frac{\partial S_{total}}{\partial T_{loss}}}$$を計算すると

$$
{\frac{\partial S_{total}}{\partial T_{loss}}} = 
- \left(  \frac{ \dot{C}_e \dot{\bar{S_n}} +\dot{\bar{C}}_n \dot{\bar{S_e}} }{ \dot{\bar{C}}_n+\dot{C}_e } \right)
$$

となる．ここで，一般的に$${\dot{\bar{S_n}} < \dot{\bar{S_e}}}$$が成り立つので，

$$
-\dot{\bar{S_e}} = - \left(  \frac{ \dot{C}_e \dot{\bar{S_e}}  +\dot{\bar{C}}_n \dot{\bar{S_e}} }{ \dot{\bar{C}}_n+\dot{C}_e } \right) < {\frac{\partial S_{total}}{\partial T_{loss}}} < - \left(  \frac{ \dot{C}_e \dot{\bar{S_n}}  +\dot{\bar{C}}_n \dot{\bar{S_n}} }{ \dot{\bar{C}}_n+\dot{C}_e } \right) = -\dot{\bar{S_n}}
$$

が成り立つことが分かる．これは直観的に明らかであり，何もしないロス時間が発生すると，必然的に通常曲とイベント曲をたたく回数がそれぞれ減少し獲得ポイントも減少するが，その減少量の重み付き平均が$${{\frac{\partial S_{total}}{\partial T_{loss}}}}$$に表れているということである．そしてその重みのつけ方も，例えば$${\dot{\bar{C}}_n}$$が大きければ大きいほど，$${\dot{\bar{S_e}}}$$の寄与も大きくなることを表しており，これは直観的にも正しい．つまり，通常曲をプレイすることによるサイリウム獲得数が多い場合はイベント曲のプレイ回数が多くなり，その分イベント曲をプレイすることによる獲得スコアの影響力が大きいということである．$${- \left(  \frac{ \dot{C}_e \dot{\bar{S_n}} +\dot{\bar{C}}_n \dot{\bar{S_e}} }{ \dot{\bar{C}}_n+\dot{C}_e } \right)}$$は一定であるため，この式に実際の値を入れて計算すると，イベント中のロス時間1秒あたりに失われる総合ポイントを計算することができる．もちろん，ロス時間が睡眠時間であればその分精度が回復しフルコンボや高いスコアランクを取りやすくなるため，とにかく$${T_{loss}}$$が少なければよいというわけではない．

ON Your Mark

通常曲とイベント曲それぞれの総プレイ回数についての式は，MYRのものと同じものが利用できる．式の形は同じであるが実際の数値を代入するときは，MYRとOYMで$${t_{er}}$$などがかなり変わってくるので注意である．獲得ポイントの式については，OYMではMYRの獲得ポイントの式$${S_{total}}$$に比べてさらにエクストラフィーバーの要素が加わるため，以下のような式となる．

$$
S_{total}= N_{n}\bar{S}_{n} + 3\sum_{i=1}^{N_{3n}}\left( s_{i, n} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fc}}{100} \right) + N_{e}\bar{S}_{e} + 3\sum_{i=1}^{N_{3e}}\left( s_{i, e} \times \frac{100 + p_{i,s} + p_{i, fev} + p_{i, spfev} + p_{i, exfev} + p_{i, fc}}{100} \right) + (ブーストアイテム分)
$$

考察 : 3倍消費使用回数が獲得ポイントに与える影響

$${S_{total}}$$の一般解において，通常曲3倍消費の総プレイ回数が$${N_{3n}}$$回の場合と，$${N_{3n}+1}$$回の場合の差を考える．この値が，通常曲3倍消費1回分あたりの総合ポイントの増分となる．

$$
-\frac{\left( (t_{3n}+t_{nr})\dot{C}_e + C_{N_{3n}+1, 3n}\right) \bar{S}_{n}}{(t_n + t_{nr})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)}
+ 
3\times s_{N_{3n}+1, 3n} \times \frac{100 + p_{N_{3n}+1, s} + p_{N_{3n}+1, fc}}{100}
+
\frac{\left( -(t_{3n}+t_{nr})\dot{\bar{C}}_n + C_{N_{3n}+1, 3n}\right) \bar{S}_{e}}{(t_e + t_{er})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)}
$$

また，$${S_{total}}$$の一般解において，イベント曲3倍消費の総プレイ回数が$${N_{3e}}$$回の場合と，$${N_{3e}+1}$$回の場合の差を考える．この値が，イベント曲3倍消費1回分あたりの総合ポイントの増分となる．

$$
\frac{-\left( (t_{e}+t_{er})\dot{C}_e + 150 \right) \bar{S}_{n}}{(t_n + t_{nr})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)}
+ 
\frac{\left( -(t_{e}+t_{er})\dot{\bar{C}}_n -150\right) \bar{S}_{e}}{(t_e + t_{er})(\dot{C}_e + \dot{\bar{C}}_n)}
+
3\times s_{N_{3e}+1, e} \times \frac{100 + p_{N_{3e}+1,s} + p_{N_{3e}+1, fev} + p_{N_{3e}+1, spfev} + p_{N_{3e}+1, exfev} + p_{N_{3e}+1, fc}}{100}
$$