この企画の目的：

• 毎日投稿のバッジ獲得のために、できるだけ楽をして記事を書く

• 「みんなのフォトギャラリー」で使える数学の画像を作る

• 「図を見てるだけなら数学は好き」と思って貰えることを目指す

最後の一文ですが、音楽や絵画だって難しい理屈や技法などへの理解を求めだしたら、多くの人に嫌われると思います。

今回は$${y=\sin(x)}$$のべき級数展開に関するグラフです。見えにくいですが、ヘッダー画像の青色の線が$${y=\sin(x)}$$のグラフです。

オレンジ色の線は

$$
y=x
$$

のグラフです。緑色の線は

$$
y=x-\frac{1}{3!}x^3
$$

のグラフです。赤色の線は

$$
y=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5
$$

のグラフです。紫色の線は

$$
y=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7
$$

のグラフです。

右辺の多項式が長くなるにつれて、グラフが$${y=\sin(x)}$$に近づいていくことが見て取れると思います。この点が、上の画像のポイントです。多項式の長さが「無限大」になったとき、この「多項式」は$${\sin(x)}$$と一致すること、つまり

$$
\sin(x) =x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots
$$

なる等式が知られています。

以下は、グラフの描画に用いたPythonのコードです。Google Collaboratory で実行しました。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

plt.rcParams['font.size'] = 10 # デフォルトの文字サイズ
r = 5.0
fig, ax = plt.subplots(figsize=(1.91*r,r))
W = 1.0 * np.pi
x = np.linspace(-W,W, 100)
ax.plot(x, np.sin(x))
y = np.zeros(x.size)
for n in range(4):
  y = y + (-1)**n / np.math.factorial(2*n+1) * x**(2*n+1)
  ax.plot(x,y)

plt.savefig("graph-20230608a.png",format="png",dpi=300)
plt.show()