自筆証書遺言保管制度には死亡時の通知の制度があります。

・関係遺言書保管通知
法務局から関係相続人等に対して、遺言書が遺言書保管所に保管されていることをお知らせするものです。
なお通知には遺言書の内容は記載されていません。遺言書の内容は、通知を受けた関係相続人等が「遺言書情報証明書」の交付を受けるか、遺言書の閲覧（モニター／原本）をしないとわかりません。
また、この通知は、誰かが遺言書の閲覧等をした後に送られます。誰も遺言書の閲覧等をしなければ通知はされません。
（不思議な方式に思われるかもしれませんが、理由があります）

・遺言者が指定した方への通知
指定者通知は、法務局が遺言者の死亡の事実を確認した場合に、あらかじめ遺言者が指定した方に、遺言書が保管されている旨をお知らせするものです。
遺言書は、作成しても作成したことを生前に誰にも伝えなくてもよいのですが、誰にも伝えなかったら見つけてもらえない可能性があります。自宅に置いていればまだしも、法務局で保管していたらわかりません。このための制度です。

関係者遺言書保管通知の送り先
関係者遺言書保管通知では全ての関係相続人等に通知が送られますが、送り先をどうやって把握しているのだろう？ということが疑問でした。
自筆証書遺言保管制度のウェブサイトには「遺言者・関係相続人等双方とも、通知を実施するための特段の手続は不要です」と書いてありますし。
最初の遺言書の保管の申請時点では、戸籍関連の添付書類は自分の住民票だけです。

この疑問の答えは、相続が発生した後の遺言書閲覧申請の時に、申請者が法定相続情報か、全ての相続人の戸籍謄本等を提出することになっているということでした。遺言書の保管の申請時点では相続人が確定しないので、よく考えたら当然ですね。
前に書いた「誰も遺言書の閲覧等をしなければ通知はされません」ということの理由は、「誰かが閲覧した場合に、相続人間の平等を図るために他の相続人等にも通知を送る」という趣旨ですが、実務的には送り先がわからないからということでもあるでしょう。

なお、誰かが「遺言書情報証明書」の交付を受けたり、遺言書閲覧をした後であれば、2番目以降の人は法定相続情報や相続人の戸籍謄本等を提出する必要はありません。
最初の人は書類収集が大変ですが、それで法務局は「関係者遺言書保管通知」の送り先を把握できるので、次の人からは不要ということです。

公正証書遺言との比較
公正証書遺言については、通知の仕組みはありません。遺言検索システムによって、公正証書遺言の有無、あるならどの公証役場にあるかを検索することができます。
「遺言書情報証明書」や「モニターによる閲覧」という仕組みはなく、公証役場に遺言原本の閲覧や謄本の交付を請求することになります。

公正証書遺言は公証人制度、自筆証書遺言保管制度は法務局と所管が異なるのですが、検索システムくらいは統一できないのかなと思います。