前回の記事同様、ややこしく感じた箇所（２つの準既約表現に関する同型関係について）の覚え書きです。

　2つの準既約表現$${(V，\!\!\!\rho)}$$，$${(V'，\!\!\!\rho')}$$で，直和分解

$$
\begin{cases}
V=\displaystyle{\bigoplus^r_{i=1}}\,W_i\quad\mathrm{s.t.}\quad\forall i\quad\!\rho_{W_i}\sim\rho_0\\
V'=\displaystyle{\bigoplus^{r'}_{j=1}}\,W'_j\quad\mathrm{s.t.}\quad\forall j\quad\!\rho'_{W'_j}\sim\rho_0
\end{cases}
$$

をもつものを考える．ここで，$${\rho_0}$$は，$${V_0}$$を表現空間とする$${G}$$の既約表現である．

　このとき，部分空間$${U_0\subset\mathrm{Hom}_G(V_0，\!\!\!V)}$$，$${U'_0\subset\mathrm{Hom}_G(V_0，\!\!\!V')}$$を適当にとれば，

$$
\begin{array}{ll}
&\alpha\colon V_0\otimes U_0\longrightarrow V
\quad(x\otimes\varphi\longmapsto\varphi(x))\\[4pt]
&\beta\colon V_0\otimes U'_0\longrightarrow V'
\quad(x\otimes\varphi'\longmapsto\varphi'(x))
\end{array}
$$

はともに同型をなし，

$$
\begin{array}{ll}
&\forall g\in G\quad\forall x\otimes\varphi\in V_0\otimes U_0\quad
\rho(g)(\alpha(x\otimes\varphi))=\alpha((\rho_0(g))\otimes\varphi)
\\[4pt]
&\forall g\in G\quad\forall x\otimes\varphi'\in V_0\otimes U'_0\quad
\rho'(g)(\beta(x\otimes\varphi'))=\beta((\rho_0(g))\otimes\varphi')
\end{array}
$$

である．

　このとき，同型

$$
\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')\simeq\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)
$$

が成り立つ：

　以下，$${x，\!\!\!y\in V_0}$$，$${\varphi\in U_0}$$，$${\varphi'\in U'_0}$$，$${f\in V^{*}}$$とする．

　まず，標準的同型

$$
\begin{array}{ll}
\mathscr{L}(V，\!\!\!V')\!\!\!&\simeq V'\otimes V^{*}\simeq(V_0\otimes U'_0)\otimes( V_0\otimes U_0)^{*}\simeq\mathscr{L}(V_0\otimes U_0，\!\!\!V_0\otimes U'_0)\\[4pt]
&\simeq\mathscr{L}(V_0，\!\!\!V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)
\end{array}
$$

が成り立つ．

　そのうち2つの同型を

$$
\begin{array}{ll}
&\Phi\colon\mathscr{L}(V，\!\!\!V')\longrightarrow\mathscr{L}(V_0，\!\!\!V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)\\[4pt]
&\Psi\colon\mathscr{L}(V_0，\!\!\!V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)\longrightarrow\mathscr{L}(V_0\otimes U_0，\!\!\!V_0\otimes U'_0)
\end{array}
$$

とする．

　すると，$${\Psi\circ\Phi}$$は，$${\mathscr{L}(V，\!\!\!V')}$$の元$${\phi_{\psi(y)，\!\!\!\!\;f}\colon\varphi(x)\mapsto(f\circ\varphi)(x)\cdot\psi(y)}$$を$${\mathscr{L}(V_0\otimes U_0，\!\!\!V_0\otimes U'_0)}$$の元$${\phi_{y\otimes\psi，\!\!\!\!\;f\circ\alpha}\colon x\otimes\varphi\mapsto(f\circ\varphi)(x)\cdot(y\otimes\psi)}$$に写す．

　$${\Phi|_{\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')}}$$が求める同型を与えること，即ち，

$$
\Phi(\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V'))=\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)
$$

が成り立つことを示す．

$$
\begin{array}{ll}
\phi_{y\otimes\psi，\!\!\!f\circ\alpha}(x\otimes\varphi)\!\!\!\!
&=(f\circ\varphi)(x)\cdot(y\otimes\psi)=\beta^{-1}((f\circ\varphi)(x)\cdot\psi(y))\\[4pt]
&=x\otimes((f\circ\varphi)(\cdot)\cdot\psi(y))
\end{array}
$$

であるが，$${\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')}$$とすると，

$$
\begin{array}{ll}
\forall g\in G\quad
(((f\circ\varphi)(\cdot)\cdot\psi(y))\circ\rho_0(g))(x)\!\!\!\!
&=(f\circ\varphi)(\rho_0(g)(x))\cdot\psi(y)\\[4pt]
&=\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}(\varphi((\rho_0(g)(x))))\\[4pt]
&=\rho'(g)(\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}(\varphi(x)))\\[4pt]
&=\rho'(g)((f\circ\varphi)(x)\cdot\psi(y))\\[4pt]
&=(\rho'(g)\circ((f\circ\varphi)(\cdot)\cdot\psi(y)))(x)
\end{array}
$$

となり，$${(f\circ\varphi)(\cdot)\cdot\psi(y)}$$は$${G}$$の作用と可換である．

　よって，$${(f\circ\varphi)(\cdot)\cdot\psi(y)\in U'_0}$$であるから，$${(f\circ\cdot)(\cdot)\cdot\psi(y)}$$は$${\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)}$$の元で，

$$
\begin{array}{ll}
\Psi(\Phi(\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}))\!\!\!\!
&=\phi_{y\otimes\psi，\!\!\!f\circ\alpha}\\[4pt]
&=\left(x\otimes\varphi\mapsto x\otimes(f\circ\varphi)(\cdot)\cdot\psi(y)\right)\\[4pt]
&=\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes((f\circ\cdot)(\cdot)\cdot\psi(y)))
\end{array}
$$

即ち，

$$
\Phi(\phi_{\psi(y)，\!\!\!f})
=\mathrm{id}_{V_0}\otimes((f\circ\cdot)(\cdot)\cdot\psi(y))
\in\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)
$$

が成り立つ．

　次に，$${\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)\subset\Phi(\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V'))}$$を示す．

　$${\sigma\in\mathrm{End}_G(V_0)}$$，$${\tau\in\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)}$$とする．

　このとき，

$$
\begin{array}{ll}
\Psi(\sigma\otimes\tau)(x\otimes\varphi)\!\!\!\!
&=\sigma(x)\otimes\tau(\varphi)
=\beta^{-1}(\tau(\varphi)(\sigma(x)))\\[4pt]
&=x\otimes(\tau(\varphi)\circ\sigma)\\[4pt]
&=x\otimes(\tau(\cdot)\circ\sigma)(\varphi)\\[4pt]
&=\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes(\tau(\cdot)\circ\sigma))(x\otimes\varphi)
\end{array}
$$

である．

　そこで，$${\sigma=\mathrm{id}_{V_0}}$$として，$${\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\in\Psi(\Phi(\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')))}$$を示す．

$$
\begin{array}{ll}
\tau(\varphi)(x)\!\!\!\!&=\beta(x\otimes\tau(\varphi))=\beta(\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)(x\otimes\varphi))\\[4pt]
&=(\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1})(\varphi(x))
\end{array}
$$

に注意すると，

$$
\begin{array}{ll}
&\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\in\Psi(\Phi(\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')))\\
\Leftrightarrow&
\exists\,(y，\!\!\!\psi，\!\!\!f)\quad\mathrm{s.t.}\quad
\begin{cases}
\phi_{y\otimes\psi，\!\!\!f\circ\alpha}=\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\\
\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&
\exists\,(y，\!\!\!\psi，\!\!\!f)\quad\mathrm{s.t.}\quad
\forall x\;\forall\varphi\;
\begin{cases}
(f\circ\varphi)(x)\cdot(y\otimes\psi)=x\otimes\tau(\varphi)\\
\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&
\exists\,(y，\!\!\!\psi，\!\!\!f)\quad\mathrm{s.t.}\quad
\forall x\;\forall\varphi\;
\begin{cases}
(f\circ\varphi)(x)\cdot\psi(y)=\tau(\varphi)(x)\\\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&
\exists\,(y，\!\!\!\psi，\!\!\!f)\quad\mathrm{s.t.}\quad
\forall x\;\forall\varphi\;
\begin{cases}
\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}(\varphi(x))=(\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1})(\varphi(x))\\
\phi_{\psi(y)，\!\!\!f}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')
\end{array}
$$

である．

　そこで，$${\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1}}$$と$${G}$$の作用の可換性を確かめると，任意の$${g\in G}$$に対し，

$$
\begin{array}{ll}
&\quad(\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1}\circ\rho(g))(\varphi(x))\\[4pt]
\!\!\!&=\beta(\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)(\alpha^{-1}(\varphi(\rho_0(g)(x)))))\\[4pt]
&=\beta(\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)(\rho_0(g)(x)\otimes\varphi))\\[4pt]
&=\beta(\rho_0(g)(x)\otimes\tau(\varphi))\\[4pt]
&=(\tau(\varphi)\circ\rho_0(g))(x)\\[4pt]
&=(\rho'(g)\circ\tau(\varphi))(x)\\[4pt]
&=\rho'(g)((\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1})(\varphi(x)))\\[4pt]
&=(\rho'(g)\circ\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1})(\varphi(x))
\end{array}
$$

となり，確かに$${\beta\circ\Psi(\mathrm{id}_{V_0}\otimes\tau)\circ\alpha^{-1}\in\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')}$$である．

　よって，$${\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)\subset\Phi(\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V'))}$$である．

　ゆえに，$${\Phi(\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V'))=\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)}$$が成り立つから，

$$
\Phi|_{\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')}\colon\mathrm{Hom}_G(V，\!\!\!V')\longrightarrow\mathrm{End}_G(V_0)\otimes\mathscr{L}(U_0，\!\!\!U'_0)
$$

は同型である．