$${n,r\in\mathbb{Z}_{>0}}$$とし，$${V}$$を$${K}$$上の$${n}$$次元ベクトル空間，$${T^r}$$を$${V}$$上の$${r}$$階反変テンソル空間とする．

　対称群$${\mathfrak{S}_r}$$の，$${T^r}$$への右作用を，

$$
\begin{array}{ccc}
T^r\times{\mathfrak{S}_r}&\longrightarrow&T^r\\[2pt]
\left(x_{i_1}\otimes\cdots\otimes x_{i_r},\sigma\right)&\longmapsto&P_\sigma\left(x_{i_1}\otimes\cdots\otimes x_{i_r}\right):=x_{i_{\sigma(1)}}\otimes\cdots\otimes x_{i_{\sigma(r)}}
\end{array}
$$

により定める．

　このとき，

$$
\begin{array}{cccc}
\rho\colon&\mathfrak{S}_r&\longrightarrow&\mathrm{GL}(T^r)\\[2pt]
&\sigma&\longmapsto&P_\sigma^{-1}
\end{array}
$$

とすると，$${(T^r,\rho)}$$は$${\mathfrak{S}_r}$$の表現になる．これを，$${\mathfrak{S}_r}$$のテンソル表現という．

　$${\rho}$$は$${R=K[\mathfrak{S}_r]}$$上に自然に拡張されるが，これも同じ記号$${\rho}$$で表す．

　有限群の群環の冪等元に関する一般論より，同型

$$
\begin{array}{ccc}
\mathrm{Hom}_{\mathfrak{S}_r}(Re_\varDelta，T^r)&\simeq&\rho(e_\varDelta)(T^r)\\[2pt]
\varphi&\longmapsto&\rho(e_\varDelta)(\varphi(e_\varDelta))
\end{array}
$$

が成り立つが，絶対既約表現$${(Re_\varDelta,\lambda_{Re_\varDelta})}$$に対応する，$${(T^r,\rho)}$$の準既約成分$${\rho(Re_\varDelta)(T^r)}$$は，同型

$$
\begin{array}{}
\rho(Re_\varDelta)(T^r)\simeq Re_\varDelta\otimes\rho(e_\varDelta)(T^r)
\end{array}
$$

を満たす：

$$
\begin{array}{ccc}
\rho(Re_\varDelta)(T^r)&\longrightarrow&Re_\varDelta\otimes\rho(e_\varDelta)(T^r)\\[2pt]
\rho(a)(x)&\longmapsto&a\otimes x
\end{array}
$$

が求める同型を与えることを示す．

　まず，前述の同型より，

$$
\begin{array}{}
Re_\varDelta\otimes\rho(e_\varDelta)(T^r)\simeq Re_\varDelta\otimes\mathrm{Hom}_{\mathfrak{S}_r}(Re_\varDelta,T^r)
\end{array}
$$

である．

　$${T^r}$$の既約分解を考えると，$${(Re_\varDelta,\lambda_{Re_\varDelta})}$$の絶対既約性より，右辺は$${Re_\varDelta\otimes\mathrm{Hom}_{\mathfrak{S}_r}(Re_\varDelta,\rho(Re_\varDelta)(T^r))}$$と一致するのみならず，$${\rho(Re_\varDelta)(T^r)}$$と同型であり，これらの同型は対応

$$
\begin{array}{ccccc}
Re_\varDelta\otimes\rho(e_\varDelta)(T^r)\!\!&\simeq&\!\!\!Re_\varDelta\otimes\mathrm{Hom}_{\mathfrak{S}_r}(Re_\varDelta,\rho(Re_\varDelta)(T^r))\!\!\!&\simeq&\!\!\rho(Re_\varDelta)(T^r)\\[2pt]
a\otimes\rho(e_\varDelta)(\varphi(e_\varDelta))\!\!&\!\!\!\!\!\!\longleftrightarrow\!\!\!\!\!\!&a\otimes\varphi&\!\!\!\!\!\!\longleftrightarrow\!\!\!\!\!\!&\!\!\!\varphi(a)
\end{array}
$$

により与えられる．

$$
\begin{array}{rll}
\forall a\!=\!\!\displaystyle{\sum_\sigma\xi_\sigma\sigma}\!\in\! Re_\varDelta\,\,\,\forall \varphi\!\in\!\mathrm{Hom}_{\mathfrak{S}_r}
(Re_\varDelta,\rho(Re_\varDelta)(T^r))\!\!\!\!\!\!\!
&\quad\rho(a)(\rho(e_\varDelta)(\varphi(e_\varDelta)))\\[-7pt]
&=\rho\left(\displaystyle{\sum_\sigma\xi_\sigma\sigma}\right)\!\!(\varphi(e_\varDelta))\\[12pt]
&=\displaystyle{\sum_\sigma\xi_\sigma\varphi(\sigma e_\varDelta)}\\[-2pt]
&=\varphi\left(\displaystyle{\sum_\sigma\xi_\sigma\sigma e_\varDelta}\right)\\[12pt]
&=\varphi(a e_\varDelta)=\varphi(a)
\end{array}
$$

が成り立つから，求める同型が得られる．

　一方，

$$
\begin{array}{}
\rho\left(\displaystyle{\sum_{\tau\in\mathfrak{S}_r}(\mathrm{sgn}\tau)\tau}\right)
=\displaystyle{\sum_\tau(\mathrm{sgn}(\tau^{-1}))\rho(\tau)}
=\displaystyle{\sum_\tau(\mathrm{sgn}\tau)P_\tau}
\end{array}
$$

は$${T^r}$$の交代化作用素の定数倍だから，Young図形$${\varDelta}$$の高さを$${\nu(\varDelta)}$$とすると，$${c_\varDelta}$$の定義より，

$$
\begin{array}{ll}
\nu(\varDelta)>n
&\Rightarrow\rho(e_\varDelta)=\mu^{-1}\rho(c_\varDelta)=0\\[2pt]
&\Rightarrow\rho(e_\varDelta)(T^r)=\{0\}
\end{array}
$$

である．

　よって，$${T^r}$$の準既約分解は

$$
\begin{array}{}
T^r=\displaystyle{\bigoplus_{\nu(\varDelta)\le n}\rho(Re_{\varDelta})(T^r)}
\end{array}
$$

により与えられる．

　$${g\in GL(V)}$$に対し，その$${r}$$個のテンソル積を$${\rho'(g)}$$と書くと，即ち，

$$
\begin{array}{cccc}
\rho'(g)\colon&T^r&\longrightarrow&T^r\\[2pt]
&x_1\otimes\cdots\otimes x_r&\longmapsto&g(x_1)\otimes\cdots\otimes g(x_r)
\end{array}
$$

とすると，$${(T^r,\rho')}$$は$${GL(V)}$$の表現（$${GL(V)}$$の，$${r}$$階テンソル表現という）である．

　$${\rho'}$$は明らかに$${\rho}$$と可換で，

$$
\begin{array}{}
\forall g\in GL(V)\quad
\rho'(g)(\rho(e_{\varDelta})(T^r))=\rho(e_{\varDelta})(\rho'(g)(T^r))=\rho(e_{\varDelta})(T^r)
\end{array}
$$

に注意すると，

$$
\begin{array}{ccc}
Re_\varDelta\otimes\rho(e_\varDelta)(T^r)&\simeq&\rho(Re_\varDelta)(T^r)\\[2pt]
a\otimes\rho'(g)(x)&\longleftrightarrow&\rho(a)(\rho'(g)(x))=\rho'(g)(\rho(a)(x))
\end{array}
$$

が成り立つことが分かる．

　$${\rho}$$と$${\rho'}$$の可換性から，$${\rho'(GL(V))}$$の展開環

$$
\begin{array}{}
\{\rho'(GL(V))\}_K:=\displaystyle{\sum_{g\in GL(V)}K\cdot\rho'(g)}
\end{array}
$$

は$${\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)}$$に含まれるが，逆向きの包含関係も成り立つ：

　逆向きの包含関係と同値な

$$
\begin{array}{}
(\{\rho'(GL(V))\}_K)^\perp\subset(\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r))^\perp
\end{array}
$$

を示す，即ち，$${L\in(\mathrm{End}(T^r))^*}$$が$${L\in(\{\rho'(GL(V))\}_K)^\perp}$$を満たすとして，

$$
\begin{array}{}
\forall\varphi\in\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)\quad L(\varphi)=0
\end{array}
$$

を示す．

　$${L\in(\{\rho'(GL(V))\}_K)^\perp}$$，$${\varphi\in\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)}$$とする．

$$
\begin{array}{}
V=\displaystyle{\bigoplus_{i=1}^nKe_i}\;\;\\
\tilde{e}_{i_1\cdots i_r}:={e}_{i_1}\otimes\cdots\otimes{e}_{i_r}
\end{array}
$$

とし，$${T^r}$$の基底$${\{\tilde{e}_{i_1\cdots i_r}\}}$$及びその双対基底$${\{\tilde{f}_{i_1\cdots i_r}\}}$$に関する行列表示を考える．

　表記の簡略化のため，$${\mathrm{End}(V)}$$の元の行列表示を，その$${(i,j)}$$成分を$${\mathbb{R}^{n^2}}$$の第$${k(:=n(i-1)+j)}$$成分に対応させることで$${\mathbb{R}^{n^2}}$$の元と見做し，単一の添字$${k}$$で表す（$${\mathrm{End}(T^r)}$$についても同様に表す）．

　$${g\in GL(V)}$$とし，$${g}$$の行列表示を$${(\alpha_{ij})=(\alpha_k)}$$とすると，

$$
\begin{array}{}
\rho'(g)(\tilde{e}_{j_1\cdots j_r})
=\displaystyle{\bigotimes_{l=1}^r\left(\sum_{i_l}\alpha_{i_lj_l}e_{i_l}\right)}
=\displaystyle{\sum_{i_1,\cdots,i_r}\alpha_{k_1}\cdots\alpha_{k_r}\tilde{e}_{i_1\cdots i_r}}
\end{array}
$$

であるから，$${\rho'(g)}$$の行列表示は$${(\alpha_{k_1}\cdots\alpha_{k_r})}$$で与えられる．

　ここで，$${\varphi}$$の行列表示を$${(\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r})}$$とすると，即ち，

$$
\begin{array}{}
\varphi(\tilde{e}_{j_1\cdots j_r})
=\displaystyle{\sum_{i_1,\cdots,i_r}\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}\tilde{e}_{i_1\cdots i_r}}
\end{array}
$$

とすると，同型

$$
\begin{array}{ccc}
\mathrm{End}(T^r)&\simeq&T^r\bigotimes(T^r)^*=\displaystyle{\bigoplus_{i_l,j_l}K\!\cdot\!\left(\tilde{e}_{i_1\cdots i_r}\otimes\tilde{f}_{j_1\cdots j_r}\right)}\\[1pt]
\phi_{t,\psi}&\longleftrightarrow&t\otimes\psi&&
\end{array}
$$

により，

$$
\begin{array}{}
\varphi
=\displaystyle{\sum_{k_1,\cdots,k_r}\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}\phi_{\tilde{e}_{i_1\cdots i_r},\tilde{f}_{j_1\cdots j_r}}}
\end{array}
$$

が成り立ち，

$$
\begin{array}{}
\lambda_{k_1,\cdots,k_r}:=L\left(\phi_{\tilde{e}_{i_1\cdots i_r}，\tilde{f}_{j_1\cdots j_r}}\right)
\end{array}
$$

とすると，

$$
\begin{array}{}
L(\varphi)
=\displaystyle{\sum_{k_1\cdots k_r}\lambda_{k_1\cdots k_r}\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}}
\end{array}
$$

である．

　また，

$$
\begin{array}{ll}
&L\in(\{\rho'(GL(V))\}_K)^\perp\\[3pt]
\Leftrightarrow&\forall g\in GL(V)\quad
0=L(\rho'(g))
=\displaystyle{\sum_{k_1\cdots k_r}\lambda_{k_1,\cdots,k_r}\alpha_{k_1}\cdots\alpha_{k_r}}\\
\Leftrightarrow&\forall g\in GL(V)\quad\forall\sigma\in\mathfrak{S}_r\;
\displaystyle{\sum_{k_1,\cdots,k_r}\lambda_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}\alpha_{k_1}\cdots\alpha_{k_r}}=0
\end{array}
$$

であるから，$${\varphi}$$の行列表示$${(\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r})}$$の$${\mathfrak{S}_r}$$に関する対称性

$$
\begin{array}{ll}
&\varphi\in\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)\\[3pt]
\Leftrightarrow&\forall\sigma\in\mathfrak{S}_r\quad\rho(\sigma)\circ\varphi=\varphi\circ\rho(\sigma)\\[3pt]
\Leftrightarrow&\forall\sigma\in\mathfrak{S}_r\quad\displaystyle{\sum_{i_1,\cdots,i_r}\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}\tilde{e}_{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(r)}}}
=\displaystyle{\sum_{i_1,\cdots,i_r}\tilde{\alpha}_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}\tilde{e}_{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(r)}}}\\
\Leftrightarrow&\forall\sigma\in\mathfrak{S}_r\quad\forall k_1,\cdots, k_r\quad
\tilde{\alpha}_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}=\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}
\end{array}
$$

より，$${\alpha_{k_l}\;(l=1,\cdots,r)}$$に関する恒等式

$$
\begin{array}{ll}
\forall g\in GL(V)\quad
0\!\!\!&=\displaystyle{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r}\sum_{k_1,\cdots,k_r}\lambda_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}\alpha_{k_1}\cdots\alpha_{k_r}}\\
&=\displaystyle{\sum_{k_1,\cdots,k_r}\left(\sum_{\sigma}\lambda_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}\right)\alpha_{k_1}\cdots\alpha_{k_r}}
\end{array}
$$

が成り立つ．

　よって，

$$
\begin{array}{}
\forall k_1,\cdots, k_r\quad
\displaystyle{\sum_{\sigma}\lambda_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}}=0
\end{array}
$$

であり，$${(\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r})}$$の対称性を加味すると，

$$
\begin{array}{ll}
L(\varphi)\!\!\!
&=\!\displaystyle{\sum_{k_1,\cdots,k_r}\lambda_{k_1\cdots k_r}\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}}\\[14pt]
&=\dfrac{1}{r!}\;\displaystyle{\sum_\sigma\sum_{k_1,\cdots,k_r}\lambda_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}\tilde{\alpha}_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}}\\
&=\dfrac{1}{r!}\displaystyle{\sum_{k_1,\cdots,k_r}\left(\sum_\sigma\lambda_{k_{\sigma(1)}\cdots k_{\sigma(r)}}\right)\tilde{\alpha}_{k_1\cdots k_r}}\\
&=0
\end{array}
$$

となるから，$${\{\rho'(GL(V))\}_K=\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)}$$が成り立つ．

　$${\{\rho'(GL(V))\}_K=\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)}$$の両辺を，準既約分解

$$
\begin{array}{}
T^r=\displaystyle\bigoplus_{\nu(\varDelta)\le n}\rho(Re_{\varDelta})(T^r)
\end{array}
$$

に即して分解すると，$${(Re_\varDelta,\lambda_{Re_\varDelta})}$$の絶対既約性より，

$$
\begin{array}{ll}
\displaystyle\bigoplus_\varDelta\left\{\rho'_{\rho(Re_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K\!\!\!\!
&\simeq\{\rho'(GL(V))\}_K=\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(T^r)\\[-4pt]
&\simeq\displaystyle\bigoplus_\varDelta\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(\rho(Re_{\varDelta})(T^r))\\[12pt]
&\simeq\displaystyle\bigoplus_\varDelta\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(Re_\varDelta\otimes\rho(e_{\varDelta})(T^r))\\[12pt]
&\simeq\displaystyle\bigoplus_\varDelta(\mathrm{End}_{\mathfrak{S}_r}(Re_\varDelta)\otimes\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r)))\\[12pt]
&=\displaystyle\bigoplus_\varDelta((K\cdot\mathrm{id}_{Re_\varDelta})\otimes\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r)))
\end{array}
$$

であるが，左辺について，

$$
\begin{array}{}
\forall\varDelta\quad(K\cdot\mathrm{id}_{Re_\varDelta})\otimes\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K
\simeq\left\{\rho'_{\rho(Re_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K
\end{array}
$$

が成り立つ：

　普遍性より，

$$
\begin{array}{ccc}
(K\cdot\mathrm{id}_{Re_\varDelta})\times\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K&\longrightarrow&\left\{\rho'_{\rho(Re_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K\\[7pt]
(\mathrm{id}_{Re_\varDelta},\varphi)&\longmapsto&(\rho(a)(x)\longmapsto\rho(a)(\varphi(x)))
\end{array}
$$

により定まる$${K}$$上の双一次形式が全射であれば十分だが，任意の

$$
\begin{array}{}
\psi=\displaystyle{\sum_{g\in GL(V)}\xi_g\rho'(g)}
\in\{\rho'(GL(V))\}_K
\end{array}
$$

に対し，

$$
\begin{array}{ll}
\forall a\in Re_{\varDelta}\quad\forall x\in\rho(e_{\varDelta})(T^r)\quad
\psi(\rho(a)(x))\!\!\!\!
&=\displaystyle{\sum_g\xi_g\rho'(g)(\rho(a)(x))}\\[11pt]
&=\displaystyle{\sum_g\xi_g\rho(a)(\rho'(g)(x))}\\[-1pt]
&=\rho(a)\left(\displaystyle{\sum_g\xi_g(\rho'(g)(x))}\right)\\[11pt]
&=\rho(a)(\psi(x))
\end{array}
$$

であるから，$${\psi}$$の定義域の適当な制限を考えれば，上記双一次形式は全射である．

　よって，

$$
\begin{array}{ll}
&\!\!\displaystyle\bigoplus_\varDelta((K\cdot\mathrm{id}_{Re_\varDelta})\otimes\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r))\\
\simeq&\!\!\displaystyle\bigoplus_\varDelta\left((K\cdot\mathrm{id}_{Re_\varDelta})\otimes\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K\right)
\end{array}
$$

である．

　ゆえに，

$$
\begin{array}{}
\forall\varDelta\quad\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r))\simeq\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K
\end{array}
$$

で，右辺は左辺の部分空間をなすから，結局，

$$
\begin{array}{}
\forall\varDelta\quad\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r))=\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K
\end{array}
$$

である．

　この式から，各$${\varDelta}$$について，$${\left(\rho(e_{\varDelta})(T^r),\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}\right)}$$が絶対既約であることが示される：

　$${\varDelta}$$を固定し，$${\rho(e_{\varDelta})(T^r)}$$の$${\{0\}}$$でない$${\mathfrak{S}_r}$$-不変部分空間$${W}$$をとる．

　このとき，

$$
\begin{array}{}
\exists\varphi\in\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r))\quad\mathrm{s.t.}\quad W=\mathrm{Im}\varphi
\end{array}
$$

であるが，上の式より，

$$
\begin{array}{}
\exists\xi_{\cdot}\colon GL(V)\longrightarrow K\quad\mathrm{s.t.}\quad
\varphi=\displaystyle{\sum_{g\in GL(V)}\xi_g\rho'(g)|_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}}
\end{array}
$$

であり，各$${\rho'(g)}$$が$${T^r}$$の自己同型であることに注意して，

$$
\begin{array}{ll}
W\!\!\!\!&=\left\{\varphi(\rho(e_{\varDelta})(x))\,\middle|\;x\in T^r\right\}\\[2pt]
&=\left\{\displaystyle{\sum_g\xi_g\rho'(g)(\rho(e_{\varDelta})(x))}\middle|\;x\in T^r\right\}\\
&=\left\{\displaystyle{\sum_g\xi_g\rho(e_{\varDelta})(\rho'(g)(x))}\middle|\;x\in T^r\right\}\\
&=\left\{\left(\displaystyle{\sum_g\xi_g}\right)\cdot\rho(e_{\varDelta})(x)\middle|\;x\in T^r\right\}\\
&=\left(\displaystyle{\sum_g\xi_g}\right)\cdot\rho(e_{\varDelta})(T^r)
\end{array}
$$

を得る．

　$${W\neq\{0\}}$$ゆえ，右辺の係数は非零であるから，右辺は$${\rho(e_{\varDelta})(T^r)}$$と一致し，従って，$${\left(\rho(e_{\varDelta})(T^r),\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}\right)}$$は既約である．

　一方，任意の拡大$${K'/K}$$について，

$$
\begin{array}{}
\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K=\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r))
\end{array}
$$

の両辺の係数拡大を考えると，同様の関係

$$
\begin{array}{ll}
\left\{\rho'_{(\rho(e_{\varDelta})(T^r))_{K'}}(GL(V_{K'}))\right\}_{K'}\!\!\!\!
&=\left(\left\{\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}(GL(V))\right\}_K\right)_{K'}\\[4pt]
&=(\mathrm{End}(\rho(e_{\varDelta})(T^r)))_{K'}\\[2pt]
&=\mathrm{End}((\rho(e_{\varDelta})(T^r))_{K'})
\end{array}
$$

が成り立つから，$${\left((\rho(e_{\varDelta})(T^r))_{K'},\left(\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}\right)_{K'}\right)}$$も既約である．

　ゆえに，$${\left(\rho(e_{\varDelta})(T^r),\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}\right)}$$は絶対既約である．

　そして，長さ$${r}$$のYoung図形に対し，$${T^r}$$の準既約成分$${\rho(Re_{\varDelta})(T^r)}$$を対応させる写像は単射だから，異なる2つのYoung図形$${\varDelta}$$に対する$${\rho(e_{\varDelta})(T^r)}$$は$${GL(V)}$$-同型ではなく，$${\left\{\left(\rho(e_{\varDelta})(T^r),\rho'_{\rho(e_{\varDelta})(T^r)}\right)\right\}_{\varDelta}}$$は，$${T^r}$$の既約表現の完全代表系をなす．

　よって，$${\mathfrak{S}_r}$$のテンソル表現$${\rho}$$に関する準既約分解

$$
\begin{array}{}
T^r=\displaystyle\bigoplus_{\nu(\varDelta)\le n}\rho(Re_{\varDelta})(T^r)
\end{array}
$$

は，$${GL(V)}$$の$${r}$$階テンソル表現$${\rho'}$$に関する準既約分解をも与える．