$${\mathbb{R}}$$上のベクトル空間$${V}$$を表現空間とする，群$${G}$$の既約表現$${(V，\!\!\!\rho)}$$の分類を考える．

　$${(V_\mathbb{C}，\!\!\!\rho_\mathbb{C})}$$が既約か否かで，$${(V，\!\!\!\rho)}$$は次のように分類される：

　まず，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\!\rho_\mathbb{C})}$$が既約であるとすると，（$${\mathbb{C}}$$は$${\mathbb{R}}$$を含む唯一の代数閉体だから，）$${(V，\!\!\!\rho)}$$は絶対既約である．

　すると，Schurの補題より，$${\mathrm{End}_G(V)\simeq\mathbb{R}}$$である（このとき，「$${(V，\!\!\!\rho)}$$は$${\mathbb{R}}$$型である」という）．

　次に，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\!\rho_\mathbb{C})}$$が既約でない場合を考える．

$$
\begin{array}{}
W_0\subset V_\mathbb{C}\quad G-不変\quad\mathrm{s.t.}\;
\begin{cases}
次元最小\\
W_0\neq\{0\}
\end{cases}
\end{array}
$$

をとると，$${W_0}$$は既約である．

　このとき，$${V_\mathbb{C}=W_0\oplus\overline{W}_0}$$が成り立つ：

　$${W_0\cap\overline{W}_0=\{0\}}$$及び$${V_\mathbb{C}=W_0+\overline{W}_0}$$を示す．

　前者については，$${W_0}$$の既約性より，$${\overline{W}_0}$$も既約であるから，$${W_0\neq\overline{W}_0}$$を示せばよい．

$$
\begin{array}{}
W_0\cap V=i(W_0\cap V)
\Leftrightarrow\dim_\mathbb{R}(W_0\cap V)=0
\end{array}
$$

ゆえ，$${W_0\neq\{0\}}$$に注意すれば，$${\dim_\mathbb{R}(W_0\cap V)}$$に依らず，$${W_0}$$の既約性より，

$$
\begin{array}{}
(W_0\cap V)_\mathbb{C}=(W_0\cap V)\oplus i(W_0\cap V)\neq W_0
\end{array}
$$

である．

　よって，$${W_0\neq\overline{W}_0}$$である．

　以下，後者を示す．

　まず，$${W_0\cap\overline{W}_0=\{0\}}$$より，

$$
\begin{array}{ll}
\forall x\in W_0
\quad x\in V\!\!\!
&\Rightarrow x=\overline{x}\in\overline{W}_0\\[2pt]
&\Rightarrow x=0
\end{array}
$$

であるから，

$$
\begin{array}{ll}
\forall x，\!\!\!y\in V\quad 
x+iy\in W_0\!\!\!
&\Rightarrow
\begin{cases}
x+iy\in W_0\\[2pt]
ix-y=i(x+iy)\in W_0
\end{cases}\\[12pt]
&\Rightarrow（y=0\Leftrightarrow x=0）
\end{array}
$$

が成り立つ．

　よって，

$$
\begin{array}{}
\forall x，\!\!\!y\in V\quad 
x+iy\in W_0\setminus\{0\}
\Rightarrow
\begin{cases}
x\neq0\\
y\neq0
\end{cases}
\end{array}
$$

である．

　ゆえに，$${W_0\neq\{0\}}$$と合わせて，

$$
\begin{array}{}\exists x，\!\!\!y\in V\quad\mathrm{s.t.}\;
\begin{cases}
x+iy\in W_0\\
x\neq0
\end{cases}
\end{array}
$$

を得る．

　この$${x，\!\!y}$$について，

$$
\begin{array}{}
x=\dfrac{1}{\;2\;}\{(x+iy)+(x-iy)\}\in W_0+\overline{W}_0
\end{array}
$$

となるから，$${(W_0+\overline{W}_0)\cap V\neq\{0\}}$$である．

　すると，$${V}$$の既約性と$${(W_0+\overline{W}_0)\cap V\subset V}$$より，

$$
\begin{array}{}
(W_0+\overline{W}_0)\cap V=V\quad\mathrm{i.e.}\quad 
W_0+\overline{W}_0\supset V
\end{array}
$$

が成り立つから，

$$
\begin{array}{}
V_\mathbb{C}\subset(W_0+\overline{W}_0)_\mathbb{C}\subset(V_\mathbb{C})_\mathbb{C}=V_\mathbb{C}
\end{array}
$$

である．

　よって，$${W_0+\overline{W}_0=(W_0+\overline{W}_0)_\mathbb{C}=V_\mathbb{C}}$$が成り立つ．

　$${V_\mathbb{C}}$$の直和分解

$$
\begin{array}{}
V_\mathbb{C}=W_0\oplus\overline{W}_0
\end{array}
$$

が得られたから，$${V}$$の複素構造$${I}$$で，

$$
\begin{array}{}
W_0=\{x\in V_\mathbb{C}\,|\,Ix=ix\}
\end{array}
$$

を満たすものが存在する．

$$
\begin{array}{}
\rho_0:=(\rho_\mathbb{C})_{W_0}，\!\!\widetilde{\rho}_0:=(\rho_\mathbb{C})_{\overline{W}_0}
\end{array}
$$

とすると，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\!\rho_\mathbb{C})}$$は互いに共役な2つの絶対既約表現$${(W_0，\!\!\!\rho_0)}$$，$${(\overline{W}_0，\!\!\widetilde{\rho}_0)}$$の直和である：

　$${\rho_\mathbb{C}}$$は$${\rho}$$の自然な拡張だから自己共役で，

$$
\begin{array}{ll}
\forall g\in G\quad
\forall x，\!\!\!y\in W_0\quad
\rho_0(g)(x)+\widetilde{\rho}_0(g)(\overline{y})\!\!\!\!
&=\rho_\mathbb{C}(g)(x+\overline{y})\\[2pt]
&=\overline{\rho_\mathbb{C}(g)}(x+\overline{y})\\[2pt]
&=\overline{\rho_\mathbb{C}(g)(\overline{x}+y)}\\[2pt]
&=\overline{\widetilde{\rho}_0(g)
(\overline{x})}+\overline{\rho_0(g)(y)}
\end{array}
$$

即ち,

$$
\begin{array}{ll}
\forall g\in G\quad
\forall y\in W_0\quad
\widetilde{\rho}_0(g)(\overline{y})=\overline{\rho_0(g)(y)}=\overline{\rho_0(g)}(\overline{y})
\end{array}
$$

となる．

　そこで，$${\widetilde{\rho}_0}$$を$${\overline{\rho}_0}$$と書く：

$$
\begin{array}{ll}
\rho_\mathbb{C}=\rho_0\oplus\overline{\rho}_0．
\end{array}
$$

　$${\rho_0}$$と$${\overline{\rho}_0}$$が同値か否かで更に分類が生じる：

　まず，$${\rho_0}$$と$${\overline{\rho}_0}$$が同値でない場合を考える．

　このとき，$${W_0}$$と$${\overline{W}_0}$$は$${V_\mathbb{C}}$$の相異なる既約因子であるから，

$$
\begin{array}{ll}
\dim_\mathbb{R}\mathrm{End}_G(V)\!\!\!\!
&=\dim_\mathbb{C}(\mathrm{End}_G(V))_\mathbb{C}
=\dim_\mathbb{C}\mathrm{End}_G(V_\mathbb{C})\\[2pt]
&=\dim_\mathbb{C}(\mathrm{End}_G(W_0)\oplus\mathrm{End}_G(\overline{W}_0))\\[2pt]
&=2
\end{array}
$$

で，$${\mathbb{R}}$$上一次独立な$${\mathrm{id}_V}$$及び上記の複素構造$${I}$$は，$${\mathrm{End}_G(V)}$$の$${\mathbb{R}}$$上の基底をなす：

$$
\begin{array}{ll}
\mathrm{End}_G(V)
=\mathbb{R}\!\cdot\!\mathrm{id}_V\oplus\mathbb{R}\!\cdot\! I
\simeq\mathbb{C}．
\end{array}
$$

　このとき，「$${(V，\!\!\!\rho)}$$は$${\mathbb{C}}$$型である」という．

　一方，$${\rho_0}$$と$${\overline{\rho}_0}$$が同値であるとすると，

$$
\begin{array}{ll}
\exists\varphi\colon W_0\longrightarrow \overline{W}_0\quad 
G-同型
\end{array}
$$

である．

　この$${\varphi}$$を固定すると，

$$
\begin{array}{ll}
\forall g\in G\quad
\forall x\in W_0\quad
(\rho_0(g)\circ\overline{\varphi})(\overline{x})\!\!\!\!\!
&=\rho_0(g)(\overline{\varphi(x)})
=\overline{\overline{\rho}_0(g)(\varphi(x))}\\[3pt]
&=\overline{\varphi(\rho_0(g)(x))}
=\overline{\varphi}(\overline{\rho}_0(g)(\overline{x}))\\[2pt]
&=(\overline{\varphi}\circ\overline{\rho}_0(g))(\overline{x})
\end{array}
$$

即ち，

$$
\begin{array}{}
\quad\forall g\in G\quad
\rho_0(g)\!\,\circ\overline{\varphi}=\overline{\varphi}\circ\overline{\rho}_0(g)
\end{array}
$$

が成り立つから，$${\varphi\in\mathrm{Hom}_G(W_0，\!\!\!\overline{W}_0)}$$に注意して，

$$
\begin{array}{ll}
\forall g\in G\quad
\rho_0(g)\circ\overline{\varphi}\circ\varphi\!\!\!\!\!
&=\overline{\varphi}\circ\overline{\rho}_0(g)\circ\varphi\\[2pt]
&=\overline{\varphi}\circ\varphi\circ\rho_0(g)
\end{array}
$$

を得る．

　よって，$${\overline{\varphi}\circ\varphi\in\mathrm{End}_G(W_0)}$$であるが，Schurの補題より，

$$
\begin{array}{ll}
\exists\alpha\in\mathbb{C}^\times\quad\mathrm{s.t.}\quad
\overline{\varphi}\circ\varphi=\alpha\cdot\mathrm{id}_{W_0}
\end{array}
$$

である．

　この$${\alpha}$$は実数である：

　実際，

$$
\begin{array}{ll}
\varphi\circ\overline{\varphi}
=(\varphi\circ(\overline{\varphi}\circ\varphi))\circ\varphi^{-1}
=\alpha\cdot\mathrm{id}_{\overline{W}_0}
\end{array}
$$

より，

$$
\begin{array}{ll}
\forall x\in W_0\quad
\alpha x\!\!\!\!\!
&=\overline{\varphi}(\varphi(x))
=\overline{\varphi(\overline{\varphi(x)})}
=\overline{\varphi(\overline{\varphi}(\overline{x}))}\\[3pt]
&=\overline{\alpha\overline{x}}
=\overline{\alpha}x
\end{array}
$$

が成り立つ．

　よって，$${|\alpha|^{-\frac{1}{\,2\,}}\varphi}$$を改めて$${\varphi}$$とし，はじめから，

$$
\begin{array}{ll}
\exists s\in\{\pm1\}\quad\mathrm{s.t.}\quad
\overline{\varphi}\circ\varphi=s\cdot\mathrm{id}_{W_0}
\end{array}
$$

であるとしてよい．

　$${s=-1}$$を示すために，

$$
\begin{array}{ll}
\psi:=s\cdot\mathrm{id}_{W_0}+\varphi
\in\mathrm{Hom}_G(W_0，\!\!\!V_\mathbb{C})
\end{array}
$$

を考えると，

$$
\begin{array}{ll}
\forall x\in W_0\quad
\psi(x)=0\!\!\!
&\Rightarrow x=-s\cdot\varphi(x)\in W_0\cap\overline{W}_0\\[2pt]
&\Rightarrow x=0
\end{array}
$$

であるから，$${\psi}$$は単射で，$${W_0}$$から$${W_1\!:=\mathrm{Im}\psi}$$の上への$${G-}$$同型を与える．

　一方，$${W_0\cap\overline{W}_0=\{0\}}$$より，$${W_1\cap\overline{W}_1=\{0\}}$$である．

　$${V_\mathbb{C}}$$の直和因子を考えると，

$$
\begin{array}{ll}
\forall x\in W_0
&\;\;\;\;\,\exists y\in W_0\quad\mathrm{s.t.}\quad
\psi(x)=\overline{\psi(y)}\\[3pt]
&\Leftrightarrow
\exists y\in W_0\quad\mathrm{s.t.}\;
\begin{cases}
sx=\overline{\varphi}(\overline{y})\\
s\overline{y}=\varphi(x)
\end{cases}\\[11pt]
&\Leftrightarrow 
sx=\overline{\varphi}(s\varphi(x))=s\cdot\overline{\varphi}(\varphi(x))=x
\end{array}
$$

であるから，$${W_0\neq\{0\}}$$より，$${s=-1}$$，即ち，$${\overline{\varphi}=-\varphi^{-1}}$$でなければならない．

　ここで，$${x，\!\!\!y\in W_0}$$として，

$$
\begin{array}{}
J=(x+\overline{y}\longmapsto-\varphi^{-1}(\overline{y})+\varphi(x)=\overline{\varphi}(\overline{y})+\varphi(x))
\in\mathrm{End}_\mathbb{C}(V_\mathbb{C})
\end{array}
$$

を考えると，$${(I，\!\!\!J)}$$は$${\mathbb{R}}$$上のベクトル空間としての$${V_\mathbb{C}}$$の四元数構造を与える（即ち，$${IJ+JI=0}$$が成り立つ）が，これは$${V}$$の四元数構造を誘導する：

$$
\begin{array}{ll}
\forall x，\!\!\!y\in W_0\quad
\overline{J}(x+\overline{y})\!\!\!\!\!
&=\overline{J(\overline{x}+y)}
=\overline{\overline{\varphi}(\overline{x})+\varphi(y)}\\[2pt]
&=\varphi(x)+\overline{\varphi}(\overline{y})\\[2pt]
&=J(x+\overline{y})
\end{array}
$$

ゆえ，$${J}$$は自己共役で，$${I}$$と同様に$${J|_V\in\mathrm{GL}(V)}$$である．

　よって，$${\mathrm{End}_G(V)}$$の4元$${\mathrm{id}_V}$$，$${I}$$，$${J}$$，$${IJ}$$は$${\mathbb{R}}$$上一次独立だが，

$$
\begin{array}{}
\forall x，\!\!\!y\in W_0\quad 
p(x+\overline{y})\!:=x, \;
q(x+\overline{y})\!:=\overline{y}
\end{array}
$$

とすれば，$${V_\mathbb{C}\simeq W_1\otimes_\mathbb{C}(\mathbb{C}p\oplus\mathbb{C}q)}$$が成り立ち，

$$
\begin{array}{ll}
\dim_\mathbb{R}\mathrm{End}_G(V)\!\!\!\!\!
&=\dim_\mathbb{C}\mathrm{End}_G(V_\mathbb{C})\\[2pt]
&=\dim_\mathbb{C}(\mathrm{End}_G(W_0)\otimes_\mathbb{C}\mathrm{End}(\mathbb{C}p\oplus\mathbb{C}q))\\[2pt]
&=1\cdot(\dim_\mathbb{C}(\mathbb{C}p\oplus\mathbb{C}q))^2\\[2pt]
&=4
\end{array}
$$

であるから，$${\mathrm{End}_G(V)}$$の$${\mathbb{R}}$$上の基底をなす：

$$
\begin{array}{}
\mathrm{End}_G(V)
=\mathbb{R}\!\cdot\!\mathrm{id}_V\oplus\mathbb{R}\!\cdot\!I\oplus\mathbb{R}\!\cdot\!J\oplus\mathbb{R}\!\cdot\! IJ\simeq\mathbb{H}．
\end{array}
$$

　このとき，「$${(V，\!\!\!\rho)}$$は$${\mathbb{H}}$$型である」という．

　以上の分類に準じ，群$${G}$$の，$${\mathbb{R}}$$上のベクトル空間$${V}$$における準既約完全可約表現$${(V，\!\!\!\rho)}$$（即ち，完全可約表現の，任意の準既約成分への制限）を考える．

　以下，$${(V，\!\!\!\rho)}$$を既約表現とし，部分空間$${U_0\subset\mathrm{Hom}_G(V_0，\!\!\!V)}$$を適当にとり，

$$
\begin{array}{}
V\simeq V_0\otimes_\mathbb{R}U_0\quad（このとき，\rho\sim\rho_0\otimes\mathrm{id}_{U_0}である）
\end{array}
$$

とする．

　一般に，体$${K}$$上のベクトル空間における表現$${(V，\!\!\!\rho)}$$について，$${\dim_KV}$$を$${\rho}$$の次元といい，$${\dim\rho}$$と表す．また，$${V}$$は，上記$${V_0\otimes_KU_0}$$で，どの2つの$${V_0}$$も同値でないものの直和と$${G-}$$同型だが，$${\dim_KU_0}$$を$${\rho}$$に含まれる$${\rho_0}$$の重複度といい，$${(\rho\colon\rho_0)}$$と表す．

　まず，$${\rho_0}$$が$${\mathbb{R}}$$型であるとする．

　このとき，$${((V_0)_\mathbb{C}，\!\!(\rho_0)_\mathbb{C})}$$も既約で，

$$
\begin{array}{rl}
V_\mathbb{C}\!\!\!&\simeq(V_0)_\mathbb{C}\otimes_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C}\\[2pt]
\rho_\mathbb{C}\!\!\!&\sim(\rho_0)_\mathbb{C}\otimes\mathrm{id}_{(U_0)_\mathbb{C}}
\end{array}
$$

である：

　同型$${V\simeq V_0\otimes_\mathbb{R}U_0}$$は，$${G-}$$同型

$$
\begin{array}{}
\alpha\colon V_0\otimes_\mathbb{R}U_0\longrightarrow V\quad
(x\otimes\varphi\longmapsto\varphi(x))
\end{array}
$$

により与えられるが，$${\rho\sim\rho_0\otimes\mathrm{id}_{U_0}}$$も$${\alpha}$$が誘導するのであった：

$$
\begin{array}{rl}
\forall x\in V_0\quad\forall\varphi\in U_0\quad\forall g\in G\quad\quad
&\!\!\!\!(\rho(g)\circ\alpha)(x\otimes\varphi)\\[2pt]
=&\!\!\!\!\rho(g)(\varphi(x))=\varphi(\rho_0(g)(x))\\[2pt]
=&\!\!\!\!\alpha(\rho_0(g)(x)\otimes\varphi)\\[2pt]
=&\!\!\!\!(\alpha\circ(\rho_0\otimes\mathrm{id}_{U_0})(g))(x\otimes\varphi)．
\end{array}
$$

　これらを，複素化へ拡張したものが上記2式である．

　よって，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\!\rho_\mathbb{C})}$$も準既約で，

$$
\begin{array}{ll}
&\dim(\rho_0)_\mathbb{C}
=\dim_\mathbb{C}(V_0)_\mathbb{C}
=\dim_\mathbb{R}V_0
=\dim\rho_0\\[2pt]
&(\rho_\mathbb{C}\colon(\rho_0)_\mathbb{C})
=\dim_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C}
=\dim_\mathbb{R}U_0
=(\rho\colon\rho_0)
\end{array}
$$

が成り立つ．

　次に，$${\rho_0}$$が$${\mathbb{C}}$$型であるとする．

　このとき，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\rho_\mathbb{C})}$$は，互いに共役かつ非同値な2つの既約表現$${(W，\!\!\widetilde{\rho_0})}$$，$${(\overline{W}，\!\!\overline{\widetilde{\rho}}_0)}$$の直和に分解される：

$$
\begin{array}{ll}
&(V_0)_\mathbb{C}=W\oplus\overline{W}\\[2pt]
&(\rho_0)_\mathbb{C}=\widetilde{\rho}_0\oplus\overline{\widetilde{\rho}}_0．
\end{array}
$$

　すると，

$$
\begin{array}{ll}
V_\mathbb{C}\!\!\!\!&\simeq(W\oplus\overline{W})\otimes_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C}\\[2pt]
&\simeq(W\otimes_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C})\oplus(\overline{W}\otimes_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C})
\end{array}
$$

となり，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\rho_\mathbb{C})}$$は，互いに共役な2つの準既約成分に直和分解される．

　そして，

$$
\begin{array}{rrll}
&\dim\widetilde{\rho}_0\!\!\!\!
&=\dim_\mathbb{C}W
=\dfrac{1}{\,2\,}\dim_\mathbb{C}(V_0)_\mathbb{C}
=\dfrac{1}{\,2\,}\dim_\mathbb{R}V_0\\
&&=\dfrac{1}{\,2\,}\dim\rho_0\\[6pt]
&(\rho_\mathbb{C}\colon\widetilde{\rho}_0)\!\!\!\!
&=\dim_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C}
=\dim_\mathbb{R}U_0
=(\rho\colon\rho_0)
\end{array}
$$

である．

　最後に，$${\rho_0}$$が$${\mathbb{H}}$$型であるとする．

　この場合は，$${(V_\mathbb{C}，\!\!\rho_\mathbb{C})}$$は，互いに共役かつ同値な2つの既約表現$${(W，\!\!\widetilde{\rho}_0)}$$，$${(\overline{W}，\!\!\overline{\widetilde{\rho}}_0)}$$の直和に分解される．

　よって，$${\mathbb{C}}$$型の場合と同様に，

$$
\begin{array}{ll}
V_\mathbb{C}\!\!\!\!
&\simeq(W\otimes_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C})\oplus(W\otimes_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C})\\[2pt]
&\simeq W\otimes_\mathbb{C}((U_0)_\mathbb{C}\oplus(U_0)_\mathbb{C})
\end{array}
$$

となり（即ち，$${V_\mathbb{C}}$$自身が準既約），

$$
\begin{array}{ll}
&\dim\widetilde{\rho_0}
=\dim_\mathbb{C}W
=\dfrac{1}{\,2\,}\dim\rho_0\\[6pt]
&(\rho_\mathbb{C}\colon\widetilde{\rho_0})
=2\dim_\mathbb{C}(U_0)_\mathbb{C}
=2(\rho\colon\rho_0)
\end{array}
$$

を得る．