$${r\in\mathbb{Z}_{>0}}$$とし，対称群$${\mathfrak{S}_r}$$の，標数$${0}$$の体$${K(\supset\mathbb{Q})}$$上の群環$${R=K[\mathfrak{S}_r]}$$を考える．

　$${\mathfrak{S}_r}$$の表現を調べるために，Young図形と呼ばれる次の図形を導入する：

　$${r}$$の，正の整数の和への分割

$$
\begin{array}{}
\varDelta=\{d_1,\cdots,d_{\nu}\}\subset\mathbb{Z}_{>0}\quad\mathrm{s.t.}\,\,
\begin{cases}
(d_i)は広義減少列\\
\displaystyle{\sum_{i=1}^{\nu}d_i=r}
\end{cases}
\end{array}
$$

を$${1}$$つとる．

　この$${\varDelta}$$に対し，縦$${\nu}$$，横$${d_1}$$の長方形を$${\nu d_1}$$個の合同な正方形に分割して得られる方眼を考え，これら正方形に対し，$${1}$$から$${r}$$までの整数を，各$${i=1,\cdots,\nu}$$について，第$${i}$$行の正方形に$${d_i}$$個の整数が左詰めで対応するように，第$${1}$$行から小さい順に対応させる．

　整数が対応する正方形の和集合として得られる方眼を，分割$${\varDelta}$$に対応するYoung図形といい，これも$${\varDelta}$$で表す．$${r}$$を$${\varDelta}$$の長さ，$${\nu}$$を$${\varDelta}$$の高さという．また，$${\varDelta}$$を構成する各正方形と，対応する整数を同一視して，$${\varDelta}$$への$${\mathfrak{S}_r}$$の自然な作用を考える．

　はじめに，任意の$${\varDelta}$$に対し，$${R}$$の原始冪等元が定まることを示す．

　$${\varDelta}$$に対し，$${\mathfrak{S}_r}$$の$${2}$$つの部分群

$$
\begin{array}{}
\mathfrak{S}_{\varDelta}:=\{\sigma\in\mathfrak{S}_r|\,\sigma は\varDelta の各行の置換\!\,\}\\[2pt]
\mathfrak{S}'_{\varDelta}:=\{\sigma\in\mathfrak{S}_r|\,\sigma は\varDelta の各列の置換\!\,\}
\end{array}
$$

及び，$${R}$$の元

$$
\begin{array}{}
c_{\varDelta}:=\left(\displaystyle{\sum_{\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}}(\mathrm{sgn}{\tau})\tau}\right)\left(\displaystyle{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{\varDelta}}\sigma}\right)
\end{array}
$$

を定義する．

　このとき，

$$
\begin{array}{}
\exists\mu\in\mathbb{Z}_{>0}\quad\mathrm{s.t.}\quad {c_{\varDelta}}^2=\mu c_{\varDelta}
\end{array}
$$

が成り立つ：

まず，

$$
\begin{array}{rll}
\forall\sigma\in\mathfrak{S}_r\!\!\!
&\quad(\,\forall i,j\;\varDelta の同行の2数\quad\sigma(i),\sigma(j)が\varDelta の異列)\\[2pt]
&\Rightarrow
\exists\tau\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\quad\mathrm{s.t.}\quad \sigma\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}
\end{array}
$$

に注意する．

$$
\begin{array}{}
{c_{\varDelta}}^2=\displaystyle{\sum_{\rho\in\mathfrak{S}_r}\xi_{\rho}\rho}
\end{array}
$$

とすると，$${c_{\varDelta}}$$の定義から各係数は整数で，

$$
\begin{array}{}
\forall\sigma'\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\quad\forall\tau'\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}\;
\begin{cases}
{c_{\varDelta}}^2\cdot\sigma'={c_{\varDelta}}^2\\
\tau'\cdot{c_{\varDelta}}^2=(\mathrm{sgn}{\tau'}){c_{\varDelta}}^2
\end{cases}
\end{array}
$$

即ち，

$$
\begin{array}{}
\forall\sigma'\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\quad\forall\tau'\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}
\quad\forall\rho\in\mathfrak{S}_r\;
\begin{cases}
\xi_{\rho\sigma'}=\xi_{\rho}\\
\xi_{\tau'\rho}=(\mathrm{sgn}{\tau'})\xi_{\rho}
\end{cases}
\end{array}
$$

である．

　すると，任意の$${\sigma\in\mathfrak{S}_r\setminus\mathfrak{S}'_{\varDelta}\cdot\mathfrak{S}_{\varDelta}}$$に対し，冒頭の注意より，

$$
\begin{array}{}
\exists\sigma_h\!:=(i\;j)\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\quad\mathrm{s.t.}\quad
\begin{cases}
\sigma_v\!:=(\sigma(i)\;\sigma(j))\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}\\
\sigma_v\sigma=\sigma\sigma_h
\end{cases}
\end{array}
$$

であり，この互換の組を用いて，

$$
\begin{array}{}
\xi_{\sigma}=2^{-1}(\xi_{\sigma}+\xi_{\sigma\sigma_h})=
2^{-1}(\xi_{\sigma}+\xi_{\sigma_v\sigma})=2^{-1}(\xi_{\sigma}-\xi_{\sigma})=0
\end{array}
$$

を得る．

　よって，$${\mathfrak{S}_r}$$の単位元を$${\mathrm{id}}$$とすると，

$$
\begin{array}{ll}
{c_{\varDelta}}^2\!\!\!\!
&=\displaystyle{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{\varDelta}，\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}}\xi_{\tau\sigma}\tau\sigma}=\displaystyle{\sum_{\sigma，\tau}(\mathrm{sgn}{\tau})\xi_{\mathrm{id}}\tau\sigma}\\
&=\xi_{\mathrm{id}}\left(\displaystyle{\sum_{\tau}(\mathrm{sgn}{\tau})\tau}\right)
\left(\displaystyle{\sum_{\sigma}\sigma}\right)\\
&=\xi_{\mathrm{id}}\cdot c_{\varDelta}
\end{array}
$$

となるから，

$$
\begin{array}{}
\exists\mu\in \mathbb{Z}\quad\mathrm{s.t.}\quad {c_{\varDelta}}^2=\mu c_{\varDelta}
\end{array}
$$

である．

　$${\mu>0}$$を示すために，

$$
\begin{array}{}
\lambda(c_{\varDelta})\colon R\longrightarrow R\quad
(x\longmapsto c_{\varDelta}x)
\end{array}
$$

のトレースを$${2}$$通りに表す．

　まず，$${\mathfrak{S}'_{\varDelta}\cap\mathfrak{S}_{\varDelta}=\{\mathrm{id}\}}$$及び$${\mathrm{sgn}(\mathrm{id})=1}$$に注意すると，

$$
\begin{array}{ll}
\forall\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}
\quad\forall\sigma\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\quad\tau\sigma=\mathrm{id}\!\!\!\!
&\Leftrightarrow\tau=\sigma^{-1}\\[2pt]
&\Leftrightarrow\tau=\sigma=\mathrm{id}
\end{array}
$$

であるから，左$${c_{\varDelta}\left(=\displaystyle{\sum(\mathrm{sgn}{\tau})\tau\sigma}\right)}$$倍写像$${\lambda(c_{\varDelta})}$$のトレースは

$$
\begin{array}{}
\mathrm{tr}(\lambda(c_{\varDelta}))=\dim_KR
=\#\mathfrak{S}_r=r!>0
\end{array}
$$

を満たす．

　一方，$${x_i\in R\;(i=1,\cdots,\dim_K(c_{\varDelta}R))}$$を，

$$
\begin{array}{}
c_{\varDelta}R=\displaystyle{\bigoplus_iK\cdot c_{\varDelta}x_i}
\end{array}
$$

となるようにとると，$${\mu}$$の定義より，

$$
\begin{array}{}
\forall i\quad\lambda(c_{\varDelta})(c_{\varDelta}x_i)=c_{\varDelta}^2x_i =\mu\cdot c_{\varDelta}x_i
\end{array}
$$

である．

　適当な$${R\setminus c_{\varDelta}R}$$の元を$${\{c_{\varDelta}x_i|\,i=1,\cdots,\dim_K(c_{\varDelta}R)\}}$$に付加し，$${R}$$の$${K}$$上の基底を作ると，この基底に関し，

$$
\begin{array}{ll}
\mathrm{tr}(\lambda(c_{\varDelta}))\!\!\!\!
&=\mu\cdot\dim_K(c_{\varDelta}R)+(r!-\dim_K(c_{\varDelta}R))\cdot0\\[2pt]
&=\mu\cdot\dim_K(c_{\varDelta}R)
\end{array}
$$

であるから，$${\mathrm{tr}(\lambda(c_{\varDelta}))>0}$$と合わせて$${\mu>0}$$を得る．

　この結果から，$${e_{\varDelta}:=\mu^{-1}c_{\varDelta}}$$は$${R}$$の冪等元をなすが，実は原始的である（$${\mathrm{i.e.}\;\lambda_{Re_{\varDelta}}}$$は絶対既約）：

　$${\mathrm{End}_G(Re_{\varDelta})\simeq e_{\varDelta}Re_{\varDelta}}$$であるから，Schurの補題の逆（完全可約表現に対しては，逆も成り立つ）より，$${e_{\varDelta}Re_{\varDelta}}$$が多元体であることを示せばよいが，次のように，$${e_{\varDelta}Re_{\varDelta}=Ke_{\varDelta}}$$が示される．

　$${Ke_{\varDelta}=Kc_{\varDelta}}$$ゆえ，$${c_{\varDelta}Rc_{\varDelta}=Kc_{\varDelta}}$$を示せばよい．

　まず，$${1_G\in R}$$ゆえ，

$$
\begin{array}{}
c_{\varDelta}Rc_{\varDelta}\supset K{c_{\varDelta}}^2=Kc_{\varDelta}
\end{array}
$$

である．

　一方，$${{c_{\varDelta}}^2=\mu c_{\varDelta}}$$を示したときと同様に，

$$
\begin{array}{}
\forall \sigma\in\mathfrak{S}_r\quad c_{\varDelta}\sigma c_{\varDelta}\in Kc_{\varDelta}
\end{array}
$$

である．

　よって，

$$
\begin{array}{}
c_{\varDelta}Rc_{\varDelta}=Kc_{\varDelta}
\end{array}
$$

である．

　ここで，等しい長さ（$${r}$$とする）の，異なるYoung図形$${\varDelta}$$，$${\varDelta'}$$に対し，$${\lambda_{Re_{\varDelta}}}$$，$${\lambda_{Re_{\varDelta'}}}$$が同値でないことを示す：

　$${\mathrm{Hom}_G(Re_{\varDelta},Re_{\varDelta'})=\{0\}}$$，即ち，$${e_{\varDelta}Re_{\varDelta'}=\{0\}}$$を示す．

　やはり，

$$
\begin{array}{}
\forall \rho\in\mathfrak{S}_r\quad c_{\varDelta}\rho c_{\varDelta'}=0
\end{array}
$$

を示せばよい．

　$${\rho\in\mathfrak{S}_r}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
c_{\varDelta}\rho c_{\varDelta'}=\displaystyle{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r}\xi_\sigma^{(\rho)}\sigma}
\end{array}
$$

とする．

　$${\varDelta}$$，$${\varDelta'}$$の，第$${n}$$行の長さを各々$${d_n}$$，$${d'_n}$$とすると，$${\varDelta\neq\varDelta'}$$であることから，

$$
\begin{array}{}
n_0\!:=\min\{n\in\mathbb{Z}_{>0}|\,d_n\neq d'_n\}
\end{array}
$$

が定まる．

　まず，$${d_{n_0}< d'_{n_0}}$$の場合を考える．

　互換$${\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
S_\tau\!:=\{\sigma\in\mathfrak{S}_r|\,\sigma^{-1}\tau\sigma\in\mathfrak{S}_{\varDelta'}\}
\end{array}
$$

とすると，

$$
\begin{array}{}
\forall\sigma\in\mathfrak{S}_r
\quad\exists\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}\quad 互換\quad\mathrm{s.t.}\quad
\sigma\in S_\tau
\end{array}
$$

である：

$$
\begin{array}{}
\varDelta_0\!=\left\{1,\cdots,\displaystyle{\sum_{n=1}^{n_0}d_n}\right\}
\end{array}
$$

とし，$${\sigma\in\mathfrak{S}_r}$$とする．

　このとき，

$$
\begin{array}{rll}
\forall i,j\in\varDelta_0\;\mathrm{distinct}\quad\;\;
&\!\!\!\!\begin{cases}
(i\;j)\in\mathfrak{S}_{\varDelta'}\\
(\sigma(i)\;\sigma(j))\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}
\end{cases}\\[11pt]
\Rightarrow&\!\!\!\!
\sigma^{-1}\circ(\sigma(i)\;\sigma(j))\circ\sigma=(i\;j)\;\;\mathrm{i.e.}\;\;\sigma\in S_{(\sigma(i)\;\sigma(j))}
\end{array}
$$

である．

　一方，

$$
\begin{array}{}
\forall i,j\in\varDelta_0\quad
(i\;j)\in\mathfrak{S}_{\varDelta'}
\Rightarrow\sigma(i),\sigma(j)は\varDelta の異列
\end{array}
$$

のとき，

$$
\begin{array}{}
\exists \tau_0\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}\quad\mathrm{s.t.}\quad
(\tau_0\sigma)(\varDelta_0)=\varDelta_0
\end{array}
$$

である．

　この$${\tau_0}$$を$${1}$$つとると，$${d_{n_0}< d'_{n_0}}$$により，

$$
\begin{array}{}
\exists i,j\quad\varDelta'の第(n_0+1)行の2数\quad\mathrm{s.t.}\quad
((\tau_0\sigma)(i)\;(\tau_0\sigma)(j) )\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}
\end{array}
$$

である．

　この$${i}$$，$${j}$$は$${(\sigma(i)\;\sigma(j) )\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}}$$を満たし，やはり$${\sigma\in S_{(\sigma(i)\;\sigma(j))}}$$である．

　ゆえに，任意の$${\sigma,\rho\in\mathfrak{S}_r}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}\quad 互換
\quad\mathrm{s.t.}\quad
\sigma^{-1}\tau\sigma\in\mathfrak{S}_{\varDelta'}
\end{array}
$$

をとることができ，$${\xi_\sigma^{(\rho)}}$$の定義から従う

$$
\begin{array}{}
\forall\pi\in\mathfrak{S}_{\varDelta'}\quad\forall\tau'\in\mathfrak{S}'_{\varDelta}\quad
\xi_{\sigma\pi}^{(\rho)}=\xi_{\sigma}^{(\rho)}=(\mathrm{sgn}{\tau'})\xi_{\tau'\sigma}^{(\rho)}
\end{array}
$$

と合わせて，

$$
\begin{array}{ll}
\xi_{\sigma}^{(\rho)}\!\!\!\!\!
&=2^{-1}\cdot\left(\xi_{\sigma}^{(\rho)}+\xi_{\sigma}^{(\rho)}\right)
=2^{-1}\cdot\left(\xi_{\sigma}^{(\rho)}-\xi_{\tau\sigma}^{(\rho)}\right)\\
&=2^{-1}\cdot\left(\xi_{\sigma}^{(\rho)}-\xi_{\sigma(\sigma^{-1}\tau\sigma)}^{(\rho)}\right)
=2^{-1}\cdot\left(\xi_{\sigma}^{(\rho)}-\xi_{\sigma}^{(\rho)}\right)\\
&=0
\end{array}
$$

を得る．

　また，$${d_{n_0}> d'_{n_0}}$$の場合も，互換$${\tau'\in\mathfrak{S}'_{\varDelta'}}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
S'_{\tau'}\!:=\{\rho\in\mathfrak{S}_r|\,\rho\tau'\rho^{-1}\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\}
\end{array}
$$

とすると，各$${\rho\in\mathfrak{S}_r}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
\exists i,j\in\{1,\cdots,r\}\;\mathrm{distinct}\quad\mathrm{s.t.}\;
\begin{cases}
(i\;j)\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\\
(\rho^{-1}(i)\;\rho^{-1}(j))\in\mathfrak{S}'_{\varDelta'}
\end{cases}
\end{array}
$$

であり，この$${i}$$，$${j}$$は$${\rho\in S'_{(\rho^{-1}(i)\;\rho^{-1}(j))}}$$を満たす．

　ゆえに，任意の$${\sigma,\rho\in\mathfrak{S}_r}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
\exists\tau'\in\mathfrak{S}'_{\varDelta'}\quad 互換
\quad\mathrm{s.t.}\quad
\rho\tau'\rho^{-1}\in\mathfrak{S}_{\varDelta'}
\end{array}
$$

であり，

$$
\begin{array}{}
\forall\pi\in\mathfrak{S}_{\varDelta}\quad\forall\tau\in\mathfrak{S}'_{\varDelta'}\quad
\xi_{\sigma}^{(\pi\rho)}=\xi_{\sigma}^{(\rho)}=(\mathrm{sgn}{\tau})\xi_{\sigma}^{(\rho\tau)}
\end{array}
$$

に注意して，$${\xi_{\sigma}^{(\rho)}=0}$$を得る．

　よって，

$$
\begin{array}{}
\forall \rho\in\mathfrak{S}_r\quad c_{\varDelta}\rho c_{\varDelta'}=0
\end{array}
$$

である．

　以上により，$${R}$$のすべての原始冪等元からなる集合を$${P}$$とし，$${\{\lambda_{Re}|\,e\in P\}/\sim}$$の完全代表系を与える$${P}$$の部分集合$${P'}$$を任意に固定すると，

$$
\begin{array}{}
\displaystyle{\bigoplus_{\varDelta}Re_{\varDelta}R\subset\bigoplus_{e\in P'}ReR=R}
\end{array}
$$

であるが，逆の包含関係も成り立つ：

　長さ$${r}$$のYoung図形の個数を$${h}$$として，$${h\ge\#P'}$$を示せばよい．

　$${R}$$の中心$${C}$$は$${K}$$上のベクトル空間であり，直和分解

$$
\begin{array}{}
R=\displaystyle{\bigoplus_{e\in P'}ReR}
\end{array}
$$

に即した$${\mathrm{id}\in\mathfrak{S}_r}$$の分割は，両側イデアルたる各直和因子の生成元を与える．

　これら$${\#P'}$$個の生成元はすべて$${C}$$の元で，$${K}$$上一次独立であるから，$${\#P'\le\mathrm{dim}_KC}$$が成り立つ．

　一方，任意の$${\sigma\in\mathfrak{S}_r}$$は巡回置換の積に表せるから，適当な互換の積とその逆置換を両側から掛けることで，$${r}$$のある分割$${\varDelta=\{d_1,\cdots,d_{\nu}\}}$$に対応する巡回置換の積

$$
\begin{array}{}
\pi_{\varDelta}:=
(1,\cdots,d_1)(d_1+1,\cdots,d_1+d_2)\cdots\left(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\nu-1}d_k},\cdots,r\right)
\end{array}
$$

になる．

　よって，$${\mathfrak{S}_r}$$の共役類分解

$$
\begin{array}{}
\mathfrak{S}_r=\displaystyle{\bigsqcup_{i\in I}S_i}
\end{array}
$$

の完全代表系$${(\sigma_i)\in\displaystyle{\prod_iS_i}}$$として，この巡回置換の積$${\pi_{\varDelta}}$$全体をとることができる．

　ゆえに，任意の$${x=\displaystyle{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r}\xi_\sigma\sigma}\in R}$$について，

$$
\begin{array}{rll}
x\in C\!\!\!\!
&\Leftrightarrow\forall\tau\in\mathfrak{S}_r\quad x=\tau^{-1}x\tau\\[2pt]
&\Leftrightarrow\forall\tau\in\mathfrak{S}_r\quad \displaystyle{\sum_\sigma\xi_\sigma\sigma}=\displaystyle{\sum_\sigma\xi_\sigma\tau^{-1}\sigma\tau}=\displaystyle{\sum_\sigma\xi_{\tau\sigma\tau^{-1}}\sigma}\\
&\Leftrightarrow\forall\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_r\quad \xi_{\tau\sigma\tau^{-1}}=\xi_\sigma
\end{array}
$$

であることに注意すると，

$$
\begin{array}{ll}
C\!\!\!\!&=\left\{\displaystyle{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r}\xi_\sigma\sigma}\in R\,\middle|\;\forall\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_r\quad \xi_{\tau\sigma\tau^{-1}}=\xi_\sigma\right\}\\
&=\left\{\displaystyle{\sum_i\xi_{\sigma_i}\left(\sum_{\sigma\in S_i}\sigma\right)}\middle|\;\forall i\in I\quad \xi_{\sigma_i}\!\in K\right\}\\
&=\displaystyle{\bigoplus_iK\cdot\left(\sum_{\sigma\in S_i}\sigma\right)}
\end{array}
$$

となるから，$${\mathrm{dim}_KC=\#I=h}$$である．

　従って，$${h\ge\#P'}$$であるから，

$$
\begin{array}{}
R=\displaystyle{\bigoplus_{\varDelta}Re_{\varDelta}R}
\end{array}
$$

を得る．