例題で学ぶ符号理論入門は畳み込み符号を除いて一通り終わったので、BBC WHC031を元に他の手法や、アルゴリズムのディジタル回路実装について眺めていく。両資料では微妙に命名が異なっているが本noteでは例題で学ぶ符号理論入門に沿った命名を採用する。

今回は誤り評価多項式$${\eta(x)}$$の係数についての補足。以前ユークリッド復号法において誤り評価多項式$${\eta(x)}$$を、

$$
\eta(x) = (1 - \alpha^{i_2}z)(1 - \alpha^{i_3}z) \cdots (1 - \alpha^{i_s}z)\alpha^{i_1} \\
+ (1 - \alpha^{i_1}z)(1 - \alpha^{i_3}z) \cdots (1 - \alpha^{i_s}z)\alpha^{i_2} \\
\cdots \\
+ (1 - \alpha^{i_1}z)(1 - \alpha^{i_2}z) \cdots (1 - \alpha^{i_{s-1}}z)\alpha^{i_s} 
$$

とし、シンドローム多項式$${S(z)}$$と誤り位置多項式$${\sigma(z)}$$から

$$
\eta \equiv S(z)\sigma(z), (modz^{2t}) \\
$$

の関係があるとした。

一方で、BBC WHC031では似たような式として以下が使われる。

$$
\Omega(z) = S(z)\sigma(z) ,(modz^{2t})
$$

誤り値多項式(Error Magnitude, Error Value, Error Valuator Polynomial)という。$${\Omega(z)}$$を展開した

$$
\Omega = \sum_{i=0}^{s-1} \Omega_i x^i
$$

について、係数を比較することで

$$
\Omega_0 = S_0 \\
\Omega_1 = S_1 + S_0\sigma^1 \\
\vdots \\
\Omega_{s-1} = S_{s-1} + S_{s-2}\sigma^1+ \cdots + S_{0} \sigma^{s-1} \\
$$

を得る。