例題で学ぶ符号理論入門の勉強メモ

最小多項式は既約多項式である。
モニックな既約多項式の根を$${\alpha (\neq 0)}$$とするとき、その既約多項式は$${\alpha}$$の最小多項式である。

例題3.8 $${\alpha = \sqrt{2}}$$の有理数体$${\boldsymbol{Q}}$$上の最小多項式を求めよ

解 $${\alpha}$$は$${x^2-2}$$の根である。この多項式はモニックであり、2次で根を$${\boldsymbol{Q}}$$上に持たないことから既約。したがって、$${\alpha}$$の最小多項式である。

最小多項式を判定する手段がモニックで既約であること、だと判定が難しい。ここまでだと、既約であることを判定する手段が、例題3.1(次数が3以下ならば根を持つ=>既約)と例題3.7(最小多項式=>既約)。

例題3.9 $${\alpha (\neq 0)}$$の$${F}$$上のm次最小多項式を$${f(x) = x^m+a_{m-1}x^{m-1} + \cdots + a_1x + a_0}$$とするとき、$${1,\alpha, \cdots,\alpha^{m-1}}$$は1次独立であることを示せ。

これ、f(x)が定義されている意味がないような？　問題の意図としては