問題は、

【よく出る図形100題 -すぐる学習会-】

より引用させていただきました〜。
問題31です。
問題文全容を載せておきますネ。

う〜ん。チカラワザで、
補助線引きまくって、三角形の面積を求めまくれば
なんとなくいけそうな予感がしないでもない。笑

でもこれだけ数字のヒントが多いということは、
なんかキナ臭く感じてくる。

HIとIFの比率かあ。
比率ときたら、相似の匂いがするぞえ。
AFの補助線を引いてみようか？
うーん、△EFHの面積が分かったところでなあ。
却下。

（本当はそのまま反対側の△HFGを求めれば、
　底辺HFが共通辺なので、面積比から、
　EIとIGの比率がわかる。
　その逆を行けばいいと気づくのだろうけれど・・・。）

HIとIFを使った三角形の相似・・・。
くそ〜。
EとGがいいところで止まっちゃってるのが
もったいねえんだよなあ…
………ん？

そのまま外へ伸ばしやいいんじゃない？

EとADのそれぞれの延長線の交点をJ、
GとBCのそれぞれの延長線の交点をK

とすると、
大きな2つの相似な三角形、
△JIHと△KIFが出来上がる。

△JAEと△JDGも相似なので、
JA：JD＝2：5なので、JA＝12㎝。
同様に、
△KCGと△KBEも相似なので、
KC＝18㎝。

△JIHと△KIFは相似なので、
KF：JH＝FI：IH
よって、KF＝29㎝、JH＝25㎝なので、
FI：IH＝29：25。

補助線は何も内側に引くだけではなく、
外側にだって引いてもいい

という、
自由度の高さが問われているような問題と感じた。。