色々と設定をいじっていたら、Fcitx5が自動起動しなくなりました。
解決方法を見つけたので、メモします。

１．自動起動の設定をする

次のコマンドをexecに指定したデスクトップエントリーを作ればよい。
面倒だったらGnome Tweaksから自動起動するアプリケーションに追加でも良いです。

$ fcitx5 &

２．環境変数の設定

fcitx5では下記のコマンドで診断ができます。

$ fcitx5-diagnose

私の環境では、環境変数が足りないと怒られていました。
以下を設定して終わり。

GTK_IM_MODULE=fcitx
QT_IM_MODULE=fcitx
XMODIFIERS=@im=fcitx

以上で無事にfcitxが自動起動してくれるようになりました。