引っ越し先の新しいレンタルサーバーと契約し費用も支払い済み。

1.DNS切り替え前の状態
切り替え前なので、旧サーバーを参照している状態。

2.DNS（サーバーの参照）を切り替えた直後〜72時間程度の状態。
（※通知とはネットワーク上で自動で行われるのでメールやアラートなどの何かアクションが起こるわけではありません。）
一度に世界中のネットワークに通知はいかない。72時間かけて通知が浸透していくイメージなので、先に通知が来たAさんは、その時点から新サーバーへメールが送られるようになる。まだ通知が来ないBさんは、新サーバーに切り替わったことを知らないので、旧サーバーへメールを送り続ける。この時点で新しい設定にメールが入ったからと、旧サーバーの設定をしたメールをやめてしまうと、まだ通知が来ていない方からのメールは紛失したかのようになってしまう。

3.約72時間経過後、全てのネットワークに通知が浸透する。
通知が行き届くことにより、新サーバーへメールが送られ流ようになる。

「メール」を「ホームページ参照」と置き換えれば、ホームページの閲覧も同じように、古いサーバと新しいサーバーを見にいく混在期間があり、ホームページが変わっていません！と言うのは、制作会社の問題ではなく、インターネットの仕組み事態がそう言うことだということです。