今回の記事は上記の続きです。

順列Pについて

こんな例を考えてみる。

$$
1,2,3,4,5
$$

この5つの数字の中から2つ選び2桁の数の作り方は何通りあるか考える。

図のように、

• 十の位が1のとき、一の位は2,3,4,5の4通り

• 十の位が2のとき、一の位は1,3,4,5の4通り

• 十の位が3のとき、一の位は1,2,4,5の4通り

• 十の位が4のとき、一の位は1,2,3,5の4通り

• 十の位が5のとき、一の位は1,2,3,4の4通り

となるので、5つの数字の中から2つ選び2桁の数の作り方は

$$
5\times 4 = 20通り
$$

となる。

次に、5つの数字

$$
1,2,3,4,5
$$

の中から3つ選び3桁の数の作り方は何通りあるか考える。

例えば、百の位が1のときを考える。
このとき、図のように

• 十の位が2のとき、一の位は3, 4, 5の3通り

• 十の位が3のとき、一の位は2, 4, 5の3通り

• 十の位が4のとき、一の位は2, 3, 5の3通り

• 十の位が5のとき、一の位は2, 3, 4の3通り

となるので、4×3=12通り

同様に、

• 百の位が2のとき、4×3=12通り

• 百の位が3のとき、4×3=12通り

• 百の位が4のとき、4×3=12通り

• 百の位が5のとき、4×3=12通り

となるので、3桁の作り方は

$$
5\times 4\times 3 = 60通り
$$

となる。

このように考えていくと、例えば

$$
1,2,3,4,5,6,7,8,9
$$

から4つ選び4桁の数字を作る方法は

$$
9\times 8\times 7\times 6 = 3024通り
$$

となる。

また、

$$
9\times 8\times 7\times 6
$$

は「P」を使って

$$
_9P_4 = \underbrace{9\times 8\times 7\times 6}_{9から逆順に4つ掛ける}
$$

表される。

他に、例えば$${_{20}P_3}$$だと

$$
_{20}P_3 = 20\times 19\times 18
$$

と表される。

一般的に

$$
_nP_r = \underbrace{n\times (n-1)\times \cdots \times (n - (r - 1))}_{r個}
$$

であり、
異なる$${n}$$個のものから$${r}$$個取り出して並び替える方法は

$$
_nP_r (通り)
$$

である。

最後に

次回はCを用いて場合の数を求める方法について書こうと思います。

最後まで読んでくださりありがとうございます。

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