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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(2/2/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${17}$$
$${(17.1)}$$  $${x^3+y^3+z^3= x^2+y^2+z^2}$$
$${(17.2)}$$   $${x^2+y^2+z^2=t^2+ u^2+v^2+w^2}$$
$${(17.3)}$$   $${x^3+y^3+z^3= u^3+v^3+w^3}$$
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$${case(17.1)}$$  $${(x^3+y^3+z^3= x^2+y^2+z^2)}$$

$${z=-y}$$と置くと、$${x^3=x^2+2y^2}$$

$${y=mx}$$と置くと、$${x^3=x^2(1+2m^2)}$$
$${x \ne 0}$$  $${→x=1+2m^2}$$
つまり、

$${x=2m^2+1\\y=m(2m^2+1)\\z=-m(2m^2+1)}$$

$${m=1→}$$ $${(x,y,z)=(3,3,-3)}$$
$${m=2→}$$ $${(x,y,z)=(9,18,-18)}$$
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$${case(17.2)}$$
$${(x^2+y^2+z^2= t^2+u^2+v^2+w^2)}$$

次の恒等式がそのまま解になる。
$${(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=\\(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2}$$
そのまんまか〜い🎶
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$${case(17.3)}$$   $${(x^3+y^3+z^3= u^3+v^3+w^3)}$$

次の恒等式を使う。
$${(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3=\\(a+b+c)^3+a^3+b^3+c^3-6abc}$$

ここで$${c^3-6abc=0}$$であれば解になる。
$${c^3=6abc  →  c \ne 0  →  c^2=6ab}$$

ここで次の$${6}$$つの場合に分けて考える。
$${(a,b)=(6m^2,1),(3m^2,2),(2m^2,3)\\=(m^2,6),(6m,m),(3m,2m)}$$
全て$${c=6m}$$になる。

【解$${1}$$】$${(a,b)=(6m^2,1)}$$
$${(x,y,z)=(6m^2+1,6m+1,6m^2+6m)}$$
$${(u,v,w)=(6m^2+6m+1,6m^2,1)}$$

【解$${2}$$】$${(a,b)=(3m^2,2)}$$
$${(x,y,z)=(3m^2+2,6m+2,3m^2+6m)}$$
$${(u,v,w)=(3m^2+6m+1,3m^2,2)}$$

【解$${3}$$】$${(a,b)=(2m^2,3)}$$
$${(x,y,z)=(2m^2+3,6m+3,2m^2+6m)}$$
$${(u,v,w)=(2m^2+6m+3,2m^2,3)}$$

【解$${4}$$】$${(a,b)=(m^2,6)}$$
$${(x,y,z)=(m^2+6,6m+6,m^2+6m)}$$
$${(u,v,w)=(m^2+6m+6,m^2,6)}$$

【解$${5}$$】$${(a,b)=(6m,m)}$$
$${(x,y,z)=(7m,7m,12m)}$$
$${(u,v,w)=(13m,6m,m)}$$
$${→}$$【解$${1・}$$解$${4}$$】の$${m=1}$$を代入して同じ数
$${m}$$を掛けたもの。

【解$${6}$$】$${(a,b)=(3m,2m)}$$
$${(x,y,z)=(5m,8m,9m)}$$
$${(u,v,w)=(11m,3m,2m)}$$
$${→}$$【解$${2・}$$解$${3}$$】の$${m=1}$$を代入して同じ数
$${m}$$を掛けたもの。
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