「光陰矢の如し」とよく言う。

特に最近そう思うのだが、光陰の運動とはどんな運動なのだろうか？

※少し数式（TeX記法）の練習を兼ねて書いてみます。今日のところはインライン記法で勘弁してつかあさい。
まだ慣れないのですがディスプレイ記法に直しています。

「ジャネーの法則」とは？

「光陰矢の如し」をもっと詳しく表す経験則である。

１９世紀のフランスの哲学者ポール・ジャネーが発案し、ポールの甥ピエール・ジャネーが彼の著書で紹介したといわれる。
こんにち、ジャネーの法則として知られているのは、こうだ。

定式化(以下中二病表現注意)

きちんとした記事はこちらにあります。

ここからは中二病の戯言です。
ジャネーの法則は、数式でモデリングできるのではないか？と考えるのは、自然科学的には当然の発想であろう。
もっとも、甥のピエール曰く

とのことだが、もしかして叔父のポールは自然科学で説明できる、と考えたのでは？と妄想している。

そこで、先人の知恵も借りながらジャネーの法則の定式化を試みたい。

ジャネーの方程式

「生涯のある時間における時間の心理的長さ」は時間$${t}$$ の関数としてどう表現されるのだろうか？

先人のブログ記事（初学者にわかりやすい良記事です！）を私なりに考察しつつ、人生を計算出来るようにしてみたい。

上記ブログ記事の積分を$${\int{Life(x)dx}=J(x)}$$、比例定数を$${A}$$と表現し、また右辺の分母は$${J(0)}$$が定義できるよう、上記ブログを参考に$${t+1}$$とした。この積分方程式をジャネーの方程式、解$${J(t)}$$をジャネーの関数と呼ぶことにする。

■ジャネーの方程式：

$$
\int_{0}^{t}{J(x)}dx=\frac{A}{t+1}
$$

両辺を$${t}$$で微分することで、ジャネーの関数は簡単な対数関数で表現できる。

■ジャネーの関数：

$$
J(t) = A \ln (t+1)
$$

ジャネーの関数を計算する。

次に実際に計算できるように比例定数$${A}$$を決めよう。
人の寿命の上限を$${T_{max}}$$、$${J(T_{max})=1}$$とすると、比例定数は$${A=1/\ln (T_{max}+1)}$$と書ける。

人の寿命のギネス世界記録などを調べると、$${T_{max}=120}$$ぐらいが妥当と思われる。これを採用すると、比例定数は（$${A=0.208516…}$$）ぐらいとなる。

あとは、サクッとExcelで作表するだけである。

ジャネーの時代から平均寿命は延びているとはいえ、アラサー世代で人生の70%が終わっている。私なんかは、もう85%が終わっている。
この事実をどうとるかは、あなた次第だ。

ジャネーの方程式の解釈

せっかくの先人の知恵がグダグダでなってしまったため、一部削除しました。

ジャネーの方程式は人間が感じる時の流れ＝「光陰矢の如し」であると解釈すると、これを時間で微分した$${J(t)}$$は時の流れの速さとなり、これが$${t}$$に反比例する。これがジャネーの法則の主張だった。

人の感覚で、入力に対して対数を感じるものは他にもある。最も身近なものは楽器の音。

１、２、３オクターブ上と音高を上げていくと、音の振動数は２倍、４倍、８倍と等比数列（指数関数）で増えていく（ピタゴラスのオクターブの法則）
逆に言うとオクターブ値は振動数の対数関数になっている。

平均律音階もそうである。ピアノの鍵盤はどの半音をとっても振動数の比は$${\sqrt[12]{2}}$$で、これも本質的にオクターブの法則と同じことを言っている。
他に光の明るさ、地震のマグニチュードなど、人間の観測するものは底は違えど対数関数になっているものが多い。

ものすごく後付け感があるが
「光陰」＝時の流れの速さも、人間は時刻$${t}$$の対数を感じているという仮説を信じると、ジャネーの法則の納得感も強くなるのでは？

と考えることができるのではなかろうか？