今回のテーマは

数学III 二次曲線

です。この範囲は、数学IIIの中でもどの様に指導していいか1番悩ましいところです。私は師匠の方に、数学IIIを指導できるのはオリンピック！と言われたほど指導するチャンスはあまりないので、この機会にいろいろ確認できたら嬉しいです。

日常を取り戻しつつある今日、忙しくなってくるかなと思います。中々全員というわけにはいきませんが、この素敵な機会を共有させていただいていただいていることに感謝です。

自分発信はなかなかできませんが、わからない担当としてnoteを頑張っていきたいと思います。過去の記事は，⑤よりすべてに飛ぶ事ができます。よろしければご覧ください。

①指数関数・対数関数
②図形と方程式
③三角関数
④方程式・式と証明
⑤微分・積分
⑥ベクトル
⑦数列

東京支部のメンバー10名で進めていきます！！10名の日記としてご覧ください。④の会からお二人増えてさらにパワーアップした東京支部になります。

※使用する教科書は「数学B Advanced(東京書籍)」です。

DAY1 二次曲線とは

・アポロニウスの円錐曲線について、円錐内部に球体が内接しているとして、平面で切っていくと式が出てくる！（証明略。余力が足りない。）
・ガリレオは当時、放物線とカテナリー曲線（最速降下線）が一緒だと思っていた！！
・放物線の話が出てくるが、急に今までと違って準線とか出てくるがどう説明していますか？？

DAY2 楕円

・二次曲線のときは２乗するとあるが、それは本当に必要十分条件なのか確認する必要がある。絶対値をつけて同値性を保つ。もしくは、場合分けをする。
・図に引っ張られすぎないようにしなければならない。
・とりあえず２乗は、果たしていいのか！？！？長さを２乗するのであれば、同値性を保てるのでは？？逆の考察をしなければいけないのか？同値性が崩れていなければ逆の考察は必要ない。
・斜めの放物線は作れる！？回転させてあげればよき？？
・楕円は、前回のところを参照。楕円にも準線がある！！！（初等幾何で求めることができる。）
・楕円のPF＋PF’=2aの式を生徒はうまく計算できる？？ルート２つあるところをいかに処理していくか？？
・楕円の式変形は逆の考察しなければいけない？両辺の符号を確認して進めてあげたら逆の考察はしなくても良い。
・一旦二乗したときに、もう一度二乗しても担保されるかを確認しておく必要がある。

DAY3 楕円の軌跡

・長さが一定の内分点の軌跡が楕円になるのは、楕円のなんの性質を使うのかな？→円を拡大縮小？今までは円を潰していたけど、逆に考える？最短経路的な考え？？アステロイドの中に楕円が埋まっている？
・アステロイドのパラメータ表示を作ると、スーパー楕円というものがある！？！？位相同系らしいです…(´･ω･`)
・軌跡はなんでやっているのか分かってない…？求める軌跡をとりあえず（x,y）とおく。とりあえずビール的な問題になってはいないか…？？
・求める軌跡の点がきちんと存在するのかを考えさせるように意識させたほうがよき。（逆像法）
・円錐曲線からの双曲線について考える。
・双曲線とのときは、絶対値を外す際に同値変形がしっかりとできている。
・漸近線とは…？？？教科書の構成的に、二次曲線→極限→微分では？？漸近線の説明のところに、限りなく大きく近づくと、のあるのでいいものか？？
・漸近線の定義とは？限りなく近づく…？？ではなく、無限円における接線である。（岩波の辞書より）
・漸近線は交わってはいけないと思っていませんか！？有限の世界では交わって良い。1976年東北大学の入試問題参照
・とある問題集の問題で、漸近線があるというのはなぜと質問をよくされるが困ってしまいますよね…。y=2x+√(x^2-1)に漸近線はあるのか！？！？…あるんだけど、どうやって見つけるのよ！？
・漸近線はどのようなときにあるのか？？すぐにあるというのは判断できるよ要素は分からず、代表的なもののみになる。ざっくり見積もりつけるしかない？？
・漸近線を微積の観点から見直すべきであるのでは？
・双曲線のパラメータ表示はどのくらい使いますか？？積極的に使うことある？？積極的に使われてないのになぜ紹介するのかな？？どの様に変形しているか要チェック！！

DAY4 媒介変数パラメータ

・楕円のパラメータ表示における角度θはどこにあるのだろうか？？→一旦円における角度を圧縮していることに注意！！圧縮すると座標も圧縮されるが、角度は圧縮されない。
・我々がパラメータ表示に変換するときは基本的に円に帰着させてから行うので、手計算だけでやるには限界がある。
・楕円の週の長さは？？→単純拡大ではない(°_°)！？！？単純に求められるものではない！楕円関数論から、複素関数論で…(´･ω･`)だけど放物線の長さは求められる！？！？
・双曲線の媒介変数表示はきちんと書いていないのはなぜ？？（教科書による）
・双曲線は単位円における拡大縮小になるのはなぜ？？双曲線と円の関係は、円における偏角θをとり、それにおける接線から双曲線への点につながる様に考えると媒介変数表示にすることは簡単！？
・パラメータ表示を考える上で、角度をどう取るべきか？？図形量だけでなく、反時計回りにして向きをつけるべし！！図形的に話をするときに、長さととるのか、座標ととるのか。
・パラメータ表示では、角は向き付け始線からが原則！（大事なことなので2回言いました）
・双曲線のパラメータ表示は使う…？？
・双曲線のパラメータ表示はhyperbolic cosineなどの双曲線関数がおすすめ！微分と相性がよき！！ネットでは最速降下線と調べてみるべし！（電線の緩みと同じ）微分方程式を学ぶならば微分方程式の練習帳（著吉田先生）がオススメ！
・積分のときにハイパブリック系はオススメ！！！その他のものもおすすめのものがあるので要確認！
・積分のときには、背景がなんなの関数が隠れているのかを確認するべし。非積分関数がどんなふうになっているのか確認すべし！ルートが絡んだ問題でも、円の一部の面積を求めているものとして考えた方が置き方などわかりやすいのでは？
・軌跡の問題で、”とりあえず”文字を消すという考え方をどうにかできないものか？とりあえずビール状態のものをどうにかしたい！なぜやるのかをはっきりさせたい。関係式を成り立つ様な文字が存在する事を言いたい。点について成り立つのかはっきりさせたい！！いろいろな具体的な点を代入して、成り立つか成り立たないか判定すると良き！

DAY5 サイクロイド

・サイクロイドのときに出てくるθの測り方について、正確に取れるだろうか。特に半周以上回転したところはπを超えることができるのか？さらに、3/2πを超えたときにできる？
・教科書のθの取り方は、図に依存しすぎているのではないか。
・サイクロイド、外サイクロイド、内サイクロイド、インヴォーリュート、アステロイド、トコロイドは媒介変数表示にできる様にするべし！これかは、図形的な角度の測り方に依存するのではなく、符号付き長さである事を意識する！
・座標平面上での角度の測り方を徹底して行うべき。回転する円の中心を角度を測るときの原点としてどのくらい回転しているのかを考えていく。
・原則、座標平面上では角度に向き付けで行う！パラメータ表示はベクトルでやる！
・符号付き長さという概念を説明するときに教科書の表現は良き！使い方を検討すべし！
・教科書のマイナスの長さを足すという事を生徒が図形的な考えで、直感的にできるのだろうか。
・極座標はどのように説明しますか？突然出てくる分野の感じ…船や飛行機の自分中心として考えるところで使う。
・極座標は電磁気学と相性がよき！極座標は軸が動いていく。レコード盤のイメージ！自分が乗っているのか、外部から見ているのか。（メリーゴーランドでもよき！？！？）
・動径（radius）は英語的には半径だが、日本語訳のときには動く半径と訳している！
・距離rは途中から負の値を認め始めている。軸がないのに負を認めている？？θの方に負を含めて考えれはいいのでは？どんなところでメリットがあるのだろうか。

DAY6 極方程式

・動径は長さなので正なのに、極方程式はrが負になる。どうやって定義、拡張されているのだろうか？？→考えないと不都合性があるから設定しているが、負でないといけないものが、教科書で見られない？？
・r=cosθについて、rが負のとき考えないとすると、抜かない点が出てきてしまうのではないか？？偏角に肩代わりしてもらう？？
・両辺r倍するって考え方だと、rがゼロかそうでないかを考える必要がある。
・点と点の対応を考えるときは、偏角で負のときを吸収できるが、方程式となると、直交座標のときに対応しきれなくなってしまう。例えば、θ=π/4みたいな式のとき、図はどうなる？？
・どうやって方程式を図式化していくか。Ｆ(r,θ)=0の書き方の方が理解しやすいのでは？
・偏角のときに-πからπまでの方が、長さをひたすら正として考えることができるのでは？
・困ったときは数値を代入して点を取らせることにより、どこにいるのか？プロットしてあげることにより、動きがどうなるかという事が数値とりんくするのではないか。rcos(θ-π/3)=2のときに、r=2/cos(θ-π/3)と見てあげれば、θ-π/3がπ/2に近付けば、平行になってくるのも分母がゼロに近づくというところから納得できるのでは？？
・極座標は図形的な発想で見てあげることが大切。余弦定理的な発想の問題も多いのでは？？
・すぐに直交変換するのではなく、図形的な発想も大切！

DAY7 楕円のパラメータ表示

・楕円のパラメータ表示のときに、r=にする方が生徒たちは安心する？？でもそう変換せずに分かってほしい。
・なるだけ極座標、極方程式の世界観の中で話を進めるべし！すぐに直交座標に変換せずに！
・r=0のときはどこに現れる？？どの様に指導する？？x^2+y^2-4x=0に代入すると、r=0,r=4cosθと書くが、r=0を書き忘れてしまうのでは？
・極限を考えるときに、連続性ありきで話をしていませんか？
・y^2=3xのときの極方程式を求めるときに、r=3cosθ/sin^2θとするのか？？分母を払ったときに両辺が成り立つθとrが確定されるから？成り立たない角度ありきで話を進めるのか？？準線との関係からこの式から考えるべし？（今までさらっと流していたけど…あれれ（´-`）.｡oO）
・分母を払ったときの解答と、分数の状態での解答の式でニュアンスが変わる気がしませんか？？
・離心率について、準線を教科書的には左にとっているが、右に取るとどうなりますか？（次回要確認ッッッ！全ての二次曲線には準線が存在する。）
・楕円を英語でelliptic ですが、ellipsという足りないというラテン語？からきている。つまり、離心率が１から足りないと言うことから考えると良き。双曲線はhypablicは何が、ハイパブリックかというと、離心率の事である！
・極方程式だとなぜ一つで表すことができているかというと、無限遠の彼方では楕円に見えるという事である！楕円をぐーーーーっとのばして、（ひとつの世界を越えるので、離心率が１を越える）裏の世界に見せると、双曲線が見えてくる。（え？どういう意味かって？気になった方は、勉強会に参加しにきてくださいッッッ！）

DAY8 いろいろな二次曲線

・カージオイドはよく入試で出る。カージオイドだどうやって出てくるかはやっておくと良き！
・定点を通る直線による円の媒介変数表示の問題は、数学IIのとき軌跡の問題に関する図式化したものである！要チェック！！円周角の定理から、倍角の公式を用いた導き方は押さえておくべし！
・準線を右で取って二次曲線を見てみよう。極座標で考えると、楕円であれば、長軸の中心と準線まで、中心と端っこまで、中心と焦点までが等比数列になっている。（証明は略）
・すぐに直交変換するのではなく、極座標でやると良き！
・2016年東工大の問題の答えがアポロニウスの円ですが、調和列点から問題を作っている！