こんにちは。しろ＠です。

前回は数学オリンピックの問題の解答・解説を取り上げました。今回はどうしようかな〜と思ったのですが、自分が受験した年の受験校の問題を全部取り上げることにしました！

2020年の東京大学、慶應義塾大学（理工）、早稲田大学（理工）の問題を順番に記事にしていこうと思います。今年の入試問題も途中で取り上げるかも。

今回は2020年東京大学理系第１問です。

問題

問題は以下の通りです。

$${a, b, c, p}$$を実数とする。不等式

$$
\begin{array}{}
ax^2+bx+c>0\\
b x^2+cx+a>0\\
cx^2+ax+b>0
\end{array}
$$

をすべて満たす実数$${x}$$の集合と、$${x>p}$$を満たす実数$${x}$$の集合が一致しているとする。
(1) $${a, b, c}$$はすべて$${0}$$以上であることを示せ。
(2) $${a, b, c}$$の少なくとも１個は$${0}$$であることを示せ。
(3) $${p=0}$$であることを示せ。

(1)は、「すべて」$${0}$$以上であることを示す問題なので、少なくとも１つが$${0}$$未満であると仮定して矛盾を導くことを考えればよさそうです。

(2)は逆に、「少なくとも１個は」$${0}$$であることを示す問題なので、(1)と合わせて、すべて$${0}$$より大きいと仮定して矛盾を導くことを考えればよさそうです。

(1)(2)の結果から、たとえば$${a=0, b\geqq0, c\geqq0}$$の場合を考えましょう。さらに、$${b, c}$$がそれぞれ正か$${0}$$かで場合分けすればよさそうです。とりあえず解答を書き進めていきましょうか。

解答

解説

解答が２ページに亘ってしまいましたが、本番の第１問の解答用紙はA4サイズですので、１ページに収まると思います！そもそも受験生時代の私は、解答用紙を縦半分に分割していました。（第３問、第６問の解答用紙はA3サイズなので４分割。ちなみに理科も縦半分に分割してました。）

まず、(1)について。仮に$${a<0}$$だとしたら、$${y=ax^2+bx+c}$$は上に凸の２次関数になるので、十分大きい$${x}$$では負の値をとります。したがって、十分大きい$${x}$$は前者の集合の要素にはなりませんが、後者の集合の要素にはなります。このことを解答にまとめればよいです。

次に、(2)について。仮に$${a, b, c}$$はすべて正だとしたら、$${y=ax^2+bx+c, y=bx^2+cx+a, y=cx^2+ax+b}$$はすべて下に凸の２次関数になるので、十分小さい$${x}$$では正の値をとります。したがって、十分小さい$${x}$$は前者の集合の要素になりますが、後者の集合の要素にはなりません。このことを解答にまとめればよいです。

(3)はやや解答をキレイに書くのが難しいかもしれません。まず、(1)(2)で分かったことをまとめると、

• $${a, b, c}$$はすべて$${0}$$以上。ただし、どれか１つは$${0}$$である。

です。そこで、$${a=0, b\geqq0, c\geqq0}$$の場合を考えてみましょう。$${b, c}$$が$${0}$$になると２次関数のグラフが１次関数になったりするので、そこは場合分けする必要がありそうです。解答では、次のように場合分けしました。

1. $${(b, c)=(0, 0)}$$すなわち$${a, b, c}$$のうち$${0}$$の個数が３個のとき。

2. $${(b, c)=(0, +)}$$すなわち$${a, b, c}$$のうち$${0}$$の個数が２個のとき。

3. $${(b, c)=(+, 0)}$$すなわち$${a, b, c}$$のうち$${0}$$の個数が２個のとき。

4. $${(b, c)=(+, +)}$$すなわち$${a, b, c}$$のうち$${0}$$の個数が１個のとき。

2.と3.は$${b, c}$$を入れ換えれば同じ議論になるので、解答では省略しました。そもそも「$${a, b, c}$$のうち$${0}$$の個数が何個か？」で場合分けすれば、2.と3.は同じ場合になります。

最後にコメント

自分が受験したときは完答できたと思った問題です。実際どうだったかは知りませんが。一番最初の問題を解くことができたので、安心して次の問題に行けました！

ところで、問題文が少し特徴的ではないでしょうか？自分が問題文を作るなら、

$${a, b, c, p}$$を実数とする。次の連立不等式

$$
\begin{cases}
ax^2+bx+c>0\\
b x^2+cx+a>0\\
cx^2+ax+b>0
\end{cases}
$$

の解が$${x>p}$$になるとする。

みたいに書くと思うのですが、わざわざ「集合」という言葉を使うあたりがやや高尚に感じられます。自分だけかな？「集合」という概念は大学ではかなり重要なので、そういう意図がもしかしたらあるのかも。まぁ東大受験生がこの問題文の解釈を間違えることはないでしょう。

個人的な難易度としては「やや易」だと思います。ただ、証明したいことが正しいと分かったとしても、それを試験時間内にキレイな解答に仕上げる難しさがあると思います。そういう点で、本問は東大らしいとも言えますね。

それでも「すべて」とか「少なくとも１個」みたいな言葉にしっかり反応して背理法を使うことは東大受験生なら当たり前でしょうし、よく分からなくてもちゃんと場合分けしながら解答を書き進めていけば点をとれる問題になっていると思います。

コメントが長くなってしまいましたが、今回はこの辺で。次回は2020年東京大学理系第２問を取り上げる予定です。

最後までお読みいただきありがとうございました。もしよろしければ、次回以降の記事もお読みいただけると嬉しいです。

それでは、また次の記事で。

2024.02.15
しろ＠