$${A,B}$$ を単位元を持つ可換環とする.  このとき直積環 $${A\times B}$$ の素イデアルは



$${A}$$ の素イデアル $${\mathfrak{p}}$$ により $${\mathfrak{p}\times B}$$ という形か, $${B}$$ の素イデアル $${\mathfrak{q}}$$ により $${A \times\mathfrak{q}}$$ という形である.




証明



$${I}$$ を $${A\times B}$$ の素イデアルとすると $${(1,0)\in I}$$ または $${(0,1)\in I}$$ である.



実際もし $${(1,0),(0,1)\notin I}$$ ならば $${I}$$ が素イデアルであることより $${(0,0)=(1,0)(0,1)\notin I}$$ となり矛盾.


$${(0,1)\in I}$$ のとき $${\mathfrak{p}:=\{x\in A|(x,0)\in I\}}$$ は $${A}$$ のイデアルである.



$${(x,y)\in I}$$ ならば $${(x,0)=(x,y)-(0,y)(0,1)\in I}$$ だから $${x\in\mathfrak{p}}$$  よって $${I\subset\mathfrak{p}\times B.}$$



逆に $${(x,y)\in \mathfrak{p}\times B }$$ に対して $${(x,0)\in I}$$ より $${(x,y)=(x,0)+(0,y)(0,1)\in I}$$ となるので $${\mathfrak{p}\times B \subset I}$$



以上より $${I= \mathfrak{p}\times B }$$ が示された.



このとき $${(A\times B)/I\cong A/\mathfrak{p}}$$ が整域なので $${\mathfrak{p}}$$ は $${A}$$ の素イデアル.



同様に $${(1,0)\in I}$$ のときは $${I=A\times\mathfrak{q}}$$ の形になることが示される.             $${\blacksquare}$$