2022日本数学オリンピック予選 第８問 ヒント
$${a_1 < a_2 < · · ·< a_{2022}}$$ をみたす正の整数の組 $${(a_1, a_2, . . . , a_{2022})}$$ であって,
$${{a_1}^2−6^2 ≧ {a_2}^2−7^2 ≧ · · · ≧ {a_{2022}}^2−{2027}^2}$$
が成り立つものはいくつあるか.
次のように書き出せば求まります。
$$
\begin{array}{r|c:c:c:c:c:c}
a_n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & · · · \\
\hline
{a_n}^2-(n+5)^2 & -35 & -45 & -55 & -65 & -75 & · · ·
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{r|c:c:c:c:c:c}
a_n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & · · · \\
\hline
{a_n}^2-(n+5)^2 & -32 & -40 & -48 & -56 & -64 & · · ·
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{r|c:c:c:c:c:c}
a_n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & · · · \\
\hline
{a_n}^2-(n+5)^2 & -27 & -33 & -39 & -45 & -51 & · · ·
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{r|c:c:c:c:c:c}
a_n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & · · · \\
\hline
{a_n}^2-(n+5)^2 & -20 & -24 & -28 & -32 & -36 & · · ·
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{r|c:c:c:c:c:c}
a_n & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & · · · \\
\hline
{a_n}^2-(n+5)^2 & -11 & -13 & -15 & -17 & -19 & · · ·
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{r|c:c:c:c:c:c}
a_n & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & · · · \\
\hline
{a_n}^2-(n+5)^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & · · ·
\end{array}
$$
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