クルト・ゲーデルの業績についてChat君と対話した
 
SF作家ルディ・ラッカーの数学ノンフィクションに、「無限と心」という著書がある。
１９８６年の刊行だが、いまだに大切に保有している。
この書籍で、カントールの対角線論法やクルト・ゲーデルの不完全性定理ことを初めて知った。
この本の最後に、著者ラッカーが、プリンストン高等研究所で最晩年のゲーデルを訪ねるシーンがあり、この書籍を書いた動機になったような一節で、たいそう印象的だった。
書棚を探して、また眺めてみるかな。
 
そこで。
質問を英文に翻訳してもらい、英語のデータセットから回答を探ってもらってみた。
英文テキストは、Chat君に丸投げで表示はしていないが、日本語の数学本では「ゲーデル数」と翻訳している述語を、「ゲーデル番号」と翻訳しているので、英文を経由したのは間違いないと思う。説明も明快で、わかりやすく感じた（理解できたかどうかはまったく別）。
 
Model: GPT-4
 
【問い】あなたは私の友人で、米国人です。私は、英語ができないので、日本語で質問をします。あなたは、私の質問を英文に翻訳して英文のデータセットから回答を引き出し、その英文の回答を日本語に翻訳して私に返してください。

質問です。クルト・ゲーデルの不完全性定理の証明で、数学はどう変わったのでしょうか？わかりやすく、箇条書きで説明してください。
 
ChatGPT
クルト・ゲーデルの不完全性定理は、数学に以下のような変化をもたらしました：
1.     数学の完全性と一貫性に対する限界: ゲーデルの第一不完全性定理は、いかなる十分に強力な公理的体系でも、その体系内では証明も反証も不可能な命題が存在することを示しました。つまり、ある数学体系が完全（全ての真の命題を証明できる）とは限らないことを示しました。
2.     証明の一貫性に対する限界: ゲーデルの第二不完全性定理は、いかなる十分に強力な公理的体系でも、その体系の一貫性をその体系自体で証明することはできないということを示しました。つまり、数学体系が自己参照的な問題に陥る可能性があることを示しました。
3.     形式体系の検証: ゲーデルの定理は、ヒルベルトの形式主義やロジシズムといった理論が提唱する、数学の全てを論理と定義から導き出すという目標に対する大きな挑戦となりました。
4.     哲学的影響: この定理は、数学の基礎に対する哲学的な議論をもたらしました。例えば、数学は客観的な真実を捉えているのか、それとも人間の思考の産物なのかという問いについて、新たな視点を提供しました。
これらの影響は、数学だけでなく哲学、計算機科学、人工知能研究など、多くの分野にも広がっています。

【問い】ありがとうございます。
最初の質問と同じように、私の質問を英訳して英文のデータセットから答えを引き出して、日本語に翻訳してお答えください。 ゲーデルはどのようなアプローチを使ってこの証明を成し遂げたのでしょうか？
 
ChatGPT
ゲーデルの不完全性定理の証明に至るまでの手法は以下の通りです：
1.     「ゲーデル番号」の導入: ゲーデルは、全ての数学的命題と証明を一意な自然数に関連付ける独自のエンコーディング手法を開発しました。これにより、彼は数学的命題をその「ゲーデル番号」で表現し、これを用いて数学的証明を操作することができました。
2.     自己参照命題の構築: 彼はこれらのゲーデル番号を使って、「この命題は証明不能である」と自己言及する命題を作り出すことができました。この自己参照命題は「この命題は証明不能である」が真であるならば証明不能であり、偽であるならば証明可能というパラドックスを生じます。
3.     パラドックスの解決: ゲーデルは、もしもこの自己参照命題が証明可能であれば、それは体系が矛盾（一貫性を欠く）していることを意味するとしました。したがって、体系が一貫しているならば、この命題は証明不能でなければならない、と結論付けました。
4.     不完全性定理の証明: これにより、彼はどんなに強力な公理系でもそれ自体の内部で証明も反証もできない命題が存在すること（第一不完全性定理）と、その公理系が一貫していることをその公理系自体で証明できないこと（第二不完全性定理）を示しました。
ゲーデルの不完全性定理は数学におけるパラドックスの究極的な例であり、その影響は現代の数学、哲学、コンピュータサイエンスにまで及んでいます。

【問い】ありがとうございます。 「自己参照命題が証明可能であれば、それは体系が矛盾（一貫性を欠く）していることを意味するとしました。したがって、体系が一貫しているならば、この命題は証明不能でなければならない、と結論付けました」というのは、ギリシャ哲学時代から議論されていたパラドックスの応用のようにもみえます。

質問です。これらのゲーデルの証明は、現代の哲学者たちの言説にどのような影響を与えたのでしょうか。前の質問同様、私の質問を英訳していただき、英文データセットから回答を引き出して、日本語に翻訳して教えてください。
 
ChatGPT
ゲーデルの不完全性定理は、現代哲学の多くの領域に影響を及ぼしました。以下にその具体的な影響を述べます：
1.     認識論と真理の理論: ゲーデルの定理は、真理についての認識論的な問い（真理は何か、どのようにしてそれを知ることができるか）に深い影響を与えました。ある体系の内部で全ての真実を説明できないということは、真理についての絶対的な理解には限界があることを示します。
2.     形而上学: ゲーデルの定理は、可能な世界の数学的な記述の一貫性と完全性についての問いを提起します。これは宇宙の形而上学的な性質についての考察に影響を及ぼします。
3.     心の哲学とAIの哲学: ゲーデルの定理は、人間の心や意識が完全に形式化されるかどうか、または人工知能が人間の知性を模倣または越えることが可能かどうかという問いに影響を与えました。特に、ロジャー・ペンローズはゲーデルの定理を用いて、人間の意識はアルゴリズムによって模倣できないと主張しました。
4.     言語哲学: ゲーデルの自己参照の命題は、言語が自己言及的でパラドックスを引き起こす可能性を指摘しました。これは、言語や意味論、真理条件についての理論に影響を与えました。
以上のように、ゲーデルの不完全性定理は多くの哲学的議論を触発し、現代の哲学的問いに対する新たな視点を提供しました。

【問い】ありがとうございます。以上の説明のうち、３や４については大きなパラダイムの転換ですね。
最後の質問です。このような思考をなしとげたゲーデルとはどんな人だったのでしょうか？ごく簡単にクルト・ゲーデルの生涯と人となりについて教えてください。この質問も、英文のデータセットから答えを引き出し、日本語に翻訳してお答えください。
 
ChatGPT
クルト・ゲーデルは、20世紀の最も重要な論理学者・数学者の一人であり、その業績は哲学や計算機科学にも大きな影響を及ぼしました。
1.     生涯: ゲーデルは1906年にオーストリア＝ハンガリー帝国（現在のチェコ）で生まれ、ウィーン大学で学びました。1931年には、22歳の若さで不完全性定理を発表しました。ナチスがオーストリアを併合した後、1938年にアメリカに移住し、アインシュタインと親友になるなどプリンストン高等研究所で活躍しました。1978年にアメリカで亡くなりました。
2.     人となり: ゲーデルは非常に聡明で、子どもの頃から数学と論理に対する深い興味を持っていました。しかし、彼はまた強い偏執症的傾向を持つことでも知られ、特に晩年には自分が毒されるのではないかと恐怖し、妻が試食したものしか食べないようになりました。妻の死後は完全に食事を拒否し、結果的に栄養失調で亡くなりました。
3.     影響: ゲーデルの業績は数学と論理学に限らず、哲学、認識論、コンピュータ科学にも広範囲にわたる影響を与えました。彼の考えは、我々が知識、真実、証明、そして思考そのものについて理解する方法を根本的に変えました。
以上が、クルト・ゲーデルの簡単な生涯と人となりについての説明です。

【お礼】ありがとうございます。勉強になりました。
 
ChatGPT
どういたしまして。ゲーデルについての質問や他の話題についても何でもお答えしますので、何か他に知りたいことがありましたら遠慮なくお聞きください。学びの旅が楽しいものでありますように！