cheap：　安い
delicious：　おいしい
long-established：　老舗の
hamburger shop：　ハンバーガーショップ

過去分詞の形容詞的用法
過去分詞には、名詞を修飾（説明）する使い方があります。

過去分詞がそれ一語で名詞を修飾する場合は、普通は名詞の前に置き、過去分詞が他の語を伴う場合は、名詞の後ろに置きます。

「今日の英語」には、この「過去分詞の形容詞的用法」があります。
「〜を運営する」という意味の「run」の過去分詞は「run」です。
「run by a grandfather for 50 years」の塊で「50年間おじいさんによって運営されている」という意味です。
この部分が、「hamburger shop in Japan」を後ろから説明しています。

なお、今日の英語は文にはなっていません。
「run」は過去分詞なので文の中心となる動詞ではありません。
文にするならば「This is」などをつけて「This is the cheapest and most delicious long-established hamburger shop in Japan run by a grandfather for 50 years.」などとします。