good time：　楽しい時間
at home：　家で

不定詞の形容詞的用法
「to不定詞」には副詞的用法、名詞的用法、形容詞的用法があります。

副詞的用法：「〜するために」という目的を表すものなど
例▷　I study English to become a cabin attendant.
（私はキャビンアテンダントになるために英語を勉強しています。）
「to become a cabin attendant」は、動詞「study」にかかっています。

名詞的用法：「〜すること」という名詞のような意味になる
例▷　I like to study English.
（私は英語を勉強することが好きだ。）　
「to study English」の部分は名詞の役割をしています。ですので動詞の目的語、主語、補語になったりします。

形容詞的用法：「〜な（名詞）」「〜という（名詞）」「〜のための（名詞）」「〜すべき（名詞）」といった形で名詞を修飾（説明）する役割を持ちます。
例▷　I need water to drink.
（私は飲み水が必要です。）
この文の場合「to drink」が直前の名詞「water」を修飾（説明）しています。

「今日の英語」の「to have a good time at home」の「to have」は、「形容詞的用法のto不定詞」で、「A nice game」という名詞句を修飾（説明）しています。

なお、「今日の英語」は文ではありません。