のわっこブログNo.27

ゴールデンウィークが明けて、パルルも再開しました。僕の前回の投稿で、自分のゴールデンウィーク課題を勝手に作り出していました。

なんだかんだほかにもやることが多かったので、なんてことを宣言してしまったんだと２週間前の自分に言ってやりたくもなりました（笑）　ですがすきま時間に考えてみて、厳密な証明まではできてしないながら、こうすればDOBBLEを作り出せる、そして実はDOBBLEがこうなっているであろうということまで分かりました。どれだけ興味ある人がいるか分かりませんが、よければお付き合いください。

ドブルがどのようになっているのかは前回のブログを読んでもらえたらと思いますが、ポイントとしては１枚に８つの絵柄が描いてあって全部で55枚あり、どの２枚を取り出しても必ず１つの絵柄が共通していることです。

とはいってもいきなり１枚に８つ絵柄が描かれているものから考えるとサイズ感が大きい話でとっかかりづらいです。ですから最初は１枚に３つ絵柄が描かれている場合だと全部で何枚になるかから考えてみましょう。数学の問題は、まずは具体的で簡単な場合から入ってみると考えやすいですから。

絵柄の１つ１つをA、B、C・・・としていますが、まず１枚目がA・B・Cだとすると次のものは１つの絵柄は同じ、あとはかぶらないようにする必要があります。Aをかぶらせましたが、すると残りの２つは今は新しい絵柄を登場させざるをえないので写真①のようになります。

もう１枚増やします。すると写真②のようになります。Aはつながったので、まだ孤立しているBを含めてみます。さらに２枚目とも共通する記号を入れる必要がありますが、ここでAを入れては１枚目と共通するものが２種類になってしまうので適しません。ということでDを入れました。あとは既出のものを入れてしまうと２つ共通してしまうので、新しい絵柄を登場させることになります。

そしてもう１枚、今までのものと１つ共通させるように作ると写真③のようになります。すると全部の絵柄が全部で同じ数ある上にきれいにちょうどつながり合う状態になります。これで１枚絵柄３つ版のDOBBLEの完成です。1枚絵柄３つの場合は６種類の絵柄で４枚作ればできました。

ではひとまわり拡張してみましょう。１枚に絵柄４つです。すると同じように考えていくと写真④ようになります。絵柄は10種類、５枚ということになりました。

さらに１枚絵柄５つも試してみようかというところですが、ちょっとここで数学的に考えてみようと思います。何か規則性はないでしょうか？写真⑤はその過程も書き加えました。種類から考えてみようと思うのですが、１枚の絵柄が３つから４つになって、種類は４つ増えました。ところで、１枚絵柄３つの時に１枚ごとの新しい絵柄が出てきた数を数えてみると順に３→２→１→０となっています。１枚絵柄４つの時には４→３→２→１→０となっています。実は１枚ごとの新しい絵柄の数は、１枚の絵柄の数から１つずつ少なくなって最後は０になっています。絵柄の種類はそれらをすべて足せば出てきます。すると写真⑤のように１枚の絵柄の数がnだとすると、
n(n+1)/2
となります。あ、文字が出てきて頭痛がしてきたという人は読みとばしてください。
一方で枚数は、絵柄３つの時に４枚、絵柄４つの時に５枚と１枚ずつ増えていて分かりやすいですね。まだ２つの場合しかやっていないですが、種類の個数の法則が成り立つことから考えても、１枚の絵柄の数がnの時の枚数については
n+1
となります。
ならば８枚の時が考えられるはずですね。nに８を当てはめてみます。すると絵柄は36種類、枚数は９枚になります。ですがこれ、おかしいのです。最初にも書いたように全部で55枚あるのです。どう考えても枚数が少ないですね。

どうやら今までの考え方では合いそうにないので、１枚絵柄３つの場合をもう１度考えてみます。上で考えたものからさらに枚数を増やせないでしょうか？上の考え方はこれで完結しているので、そこから枚数を増やすには絵柄の種類も増やさなければいけません。ということで７つ目の絵柄を登場させます。さらにそれまでのものと１つは共通させた状態を作りだそうとすると写真⑥のような感じになります。

ですが今度は突然登場した７つ目の絵柄だけ数が少なく不均衡感が否めないですよね。ということで７番目の絵柄が入ったものを増やしてみましょう。このようにするとちょうどどの絵柄も同じ数あり、どのカードも全部つながっている状態が作りだせました。絵柄は６種類から７種類に増え、カードも４枚から７枚に増えました。

さらに１枚絵柄４つも増やしてみます。するとこのように増やすことができました。種類は13、枚数も13です。

ではこの考え方で規則性を見出してみましょう。絵柄４つの時に並べ方を変えていました。この考え方ではこのような感じで考え続けられそうです。１枚の絵柄の数がnの時、絵柄の種類の数も枚数も同じで、
n^2-n+1
と表せそうです。
ではここのnに８を当てはめてみれば今度こそはと意気込んだのですが、計算した結果は57となり55枚とはわずかに合致しませんでした。
とはいえここから２枚なくすと絵柄の総数でいうと16個削ることになるわけで、絵柄の均衡性を保てなくなるように思います。ちなみにおそらくですが、次に少ない枚数で絵柄の均衡が保たれるのは49枚かと思います。

この時点で自分で考えることを諦めました。というのは完全な数学的法則でできていないのではないかと思ったからです。そしてDOBBLEの作られ方について調べてみると、やはり僕と同じように考えた人が何人もいました。そして僕と同じように57という数にたどりついていました。しかし調べた情報の中にゲーム制作者が制作過程についてコメントした記事の内容が紹介されていました。どうやらテストプレイをしたことに加えて、カード作成の機械の都合上でもあったようです。トランプを制作するものと整合性が取れたようです。（52枚＋ジョーカー２枚＋広告）

となると、自分でDOBBLEを所有しているわけではないので確かめられていませんが、僕の仮説が正しければこのようになっているはずです。57種類ある絵柄のうち14種類はほかより１つ少なく、１種類はさらにもう１つ少なくなっていないでしょうか。

ということで、僕のゴールデンウィークの自由研究発表でした～
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▼今回の投稿者について

いたさん（板倉匡利（まさとし））

パルルを知ってからのわのいろんなことを目の当たりしてきて半年、お留守番をするまでになりました。
毎週木曜日の16時頃からパルルで子どもの勉強を見たりもしています～。
最近、歩くサードプレイスになりつつあると感じています。
「楽しさの中に学びがある」を大切に生きています。

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