この記事では僕が院試対策中に学んだ線形代数の性質やその証明方法などを書きます。前半は主に理数アラカルトのまとめです。
なお、これは僕が自分用に個人的にメモしたものをコピペしたものなのでかなり雑な書き方をしています。マセマなどである程度勉強した後に全体を眺めてみて、知らない知識があれば検索してみる、みたいな使い方がいいと思います。また、当たり前すぎる知識などは完全に省いているので網羅性は全然無く、マセマに書かれていない知識の補完程度に思ってください。
また、間違った記述をしていることがある可能性もあるので、ご了承ください。
以下がメモの内容になります。

• 行列式は固有値の積

• 随伴行列A†の固有値は、Aの固有値の複素共役

• 随伴行列のトレースはもとの行列のトレースの複素共役に等しい

• 随伴行列は反線形性を持つ: (aA)†=a*A†

• 三角行列の行列式は対角成分の積

• 余因子行列の行列式は、
  A^-1=~A/|A|なので~A A=|A| E, |~A| |A| = |~A A| = ||A|E|=|A|^n
  よって|~A|=|A|^n-1

• 3行3列の行列式はスカラー三重積a・(b×c)

• 逆行列の固有値は元の固有値の逆数