とりあえず正三角形

ガウス平面（複素数平面）において
例えば正三角形の頂点の位置を複素数で得ようとすれば
　$${x^3-1=0}$$
を解けばいいわけで、これは
　$${(x-1)(x^2+x+1)=0}$$
と因数分解できて
　$${\displaystyle x=1,\ \ \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}}$$
と求まります

正五角形はちょっと難しめ

ところが、正五角形になると少し難易度が上がります
　$${x^5-1=0}$$ より
　$${(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0}$$
この $${x^4+x^3+x^2+x+1=0}$$ が少々やっかいでこの4次方程式までは
$${x \ne 0}$$ より両辺を $${x^2}$$ で割れば
　$${\displaystyle x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0}$$
$${\displaystyle X=x+\frac{1}{x}}$$ とおくと $${\displaystyle X^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}}$$ と変形できて、元の式も
　$${X^2+X-1=0}$$
となり、$${X}$$ が求まれば $${x}$$ も得られます

ところが、正十七角形ではこの技が使えません
かなり酷いことになります（やってみました。撃沈……)
そこで、正五角形の解を別の解き方で解くことで、正十七角形の解法を見てみたいと思います
（実際に解いてもいいが式の羅列に終始しかねないので、1段下げた正五角形で方法を感じてもらえればと思います）

正十七角形に通用する作戦

まず、$${x^4+x^3+x^2+x+1=0}$$ の解の1つを $${\alpha}$$ とすれば、4つの解は $${\alpha,\ \alpha ^2,\ \alpha^3,\ \alpha^4}$$ と表されます
★第一段階は、これを次の2つに分けます

　$${s=\alpha +\alpha^4}$$
　$${t=\alpha^2 +\alpha^3}$$
すると
　$${\alpha^4 +\alpha ^3 +\alpha^2+ \alpha+1=0}$$
　$${\alpha^5=1}$$
より
　$${s+t=-1,\ \ \ \ st=-1}$$
が得られます
この2数 $${s,\ t}$$ を解とする $${Y}$$ に関する2次方程式は
　$${Y^2 +Y -1=0}$$
これを解くと
　$${\displaystyle Y=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$$

★第二段階として $${\alpha +\alpha^4}$$ と $${\alpha \cdot \alpha^4}$$ を考えると
　$${\displaystyle \alpha +\alpha^4=Y=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$$
　$${\alpha \cdot \alpha^4=1}$$
だから $${\alpha ,\  \alpha^4}$$を解とする $${Z}$$ に関する2次方程式は
　$${Z^2-YZ+1=0}$$
　$${\displaystyle \therefore Z=\frac{Y \pm \sqrt{Y^2-4}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5} \pm \sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4}}$$　　……①

同じようにして $${\alpha^2 +\alpha^3}$$ と $${\alpha^2 \cdot \alpha^3}$$ を考えると
　$${\displaystyle \alpha^2 +\alpha^3=Y=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}$$
　$${\alpha^2 \cdot \alpha^3=1}$$
だから $${\alpha^2 ,\  \alpha^3}$$を解とする $${W}$$ に関する2次方程式は
　$${W^2-YW+1=0}$$
　$${\displaystyle \therefore W=\frac{Y \pm \sqrt{Y^2-4}}{2}=\frac{-1-\sqrt{5} \pm \sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4}}$$　　……②
よって4つの解は①と②となります

正十七角形の場合は……

正十七角形の場合は
　$${x^{17}-1=0}$$
　$${(x-1)(x^{16}+x^{15}+x^{14}+ \cdots +x^3+x^2+x+1)=0}$$
とし $${x^{16}+x^{15}+x^{14}+ \cdots +x^3+x^2+x+1=0}$$ の解を
$${\alpha,\ \alpha^2,\ \alpha^3,\ \cdots ,\ \alpha^{14},\ \alpha^{15},\ \alpha^{16}}$$ とすると
★第一段階で
　$${\begin{cases} \alpha+ \alpha^{16}+ \alpha^4+ \alpha^{13}+ \alpha^2+ \alpha^{15}+ \alpha^8+ \alpha^9 \\ \alpha^3+ \alpha^{14}+ \alpha^5+ \alpha^{12}+ \alpha^6 +\alpha^{11}+ \alpha^7+\alpha^{10} \end{cases}}$$
★第二段階で
　$${\begin{cases} \alpha+ \alpha^{16}+ \alpha^4+ \alpha^{13}\\ \alpha^2+ \alpha^{15}+ \alpha^8+ \alpha^9 \end{cases}}$$　　$${\begin{cases}\alpha^3+ \alpha^{14}+ \alpha^5+ \alpha^{12}\\ \alpha^6 +\alpha^{11}+ \alpha^7+\alpha^{10} \end{cases}}$$
★第三段階で
　$${\begin{cases} \alpha+ \alpha^{16}\\ \alpha^4+ \alpha^{13}\end{cases}}$$　　$${\begin{cases}\alpha^2+ \alpha^{15}\\ \alpha^8+ \alpha^9 \end{cases}}$$　　$${\begin{cases}\alpha^3+ \alpha^{14}\\ \alpha^5+ \alpha^{12}\end{cases}}$$　　$${\begin{cases} \alpha^6 +\alpha^{11}\\ \alpha^7+\alpha^{10} \end{cases}}$$
★第四段階
　これらを元に $${\alpha,\ \alpha^2,\ \alpha^3,\ \cdots ,\ \alpha^{14},\ \alpha^{15},\ \alpha^{16}}$$ を求めていきます
（このグループは巡回群というものを元に分けられています）

各段階ともに各ペアの和と積を求めることで2次方程式が作れて、それを解くことで次の段階に必要な数値が得られますから、全体としても求める解は四則演算と根号だけの計算で得られることになります
よって正十七角形も作図可能であることがわかります

同じようにして正257角形や正65537角形までがんばることができます
ちなみにNがフェルマー素数 $${F_n=2^{2^n}+1}$$ のときのみ、正N角形は作図することができます

最後に正257角形とその外接円の一部を……
全体だと円にしか見えない正257角形も実は外接円とこんなに離れているという図です

補足

最後までがんばりたい方へ解き方の流れを載せておきます
★第一段階で
　$${\begin{cases} \alpha+ \alpha^{16}+ \alpha^4+ \alpha^{13}+ \alpha^2+ \alpha^{15}+ \alpha^8+ \alpha^9=A \\ \alpha^3+ \alpha^{14}+ \alpha^5+ \alpha^{12}+ \alpha^6 +\alpha^{11}+ \alpha^7+\alpha^{10}=B \end{cases}}$$
とすると
　$${A+B=-1,\ \ \ \ AB=-4}$$
となるので、$${A}$$ と $${B}$$ が求まります

★第二段階で
　$${\begin{cases} \alpha+ \alpha^{16}+ \alpha^4+ \alpha^{13}=C \\ \alpha^2+ \alpha^{15}+ \alpha^8+ \alpha^9=D \end{cases}}$$　　$${\begin{cases}\alpha^3+ \alpha^{14}+ \alpha^5+ \alpha^{12}=E \\ \alpha^6 +\alpha^{11}+ \alpha^7+\alpha^{10}=F \end{cases}}$$
とすると
　$${C+D=A,\ \ \ \ CD=-1}$$　　　　$${E+F=B,\ \ \ \ EF=-1}$$
となるので、$${C}$$ と $${D}$$ 、$${E}$$ と $${F}$$ が求まります

★第三段階で
　$${\begin{cases} \alpha+ \alpha^{16}=G \\ \alpha^4+ \alpha^{13}=H \end{cases}}$$
とすると
　$${G+H=C,\ \ \ \ GH=E}$$
となるので、$${G}$$ と $${H}$$ が求まります
同じようにして残りの3ペアも求めることができます