不思議ですね
普通は $${1+2+3+4+\cdots =\infty}$$ です
それがゼータ関数
　$${\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+ \cdots}$$
を間に挟むと
　$${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}}$$
が得られるというのです
ちなみに $${s > 1}$$ のときは収束し、例えば
　$${\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}$$
　$${\displaystyle \zeta(4)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}}$$
　　　$${\vdots}$$
などが成り立ちます
しかし、$${s \le 1}$$ では $${\zeta (s) }$$ は正の無限大に発散して関数として意味をなさなくなってしまいます
具体的には
　$${\displaystyle \zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}+\underbrace{\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{16}}+\cdots}$$

　　　　$${\displaystyle > 1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\underbrace{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}+\underbrace{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}}+\cdots}$$

　　　　$${\displaystyle = 1+\frac{1}{2}　+\frac{1}{2}　　　　+\frac{1}{2}　　　　　　　+\frac{1}{2}　+\cdots =\infty}$$

　$${\displaystyle \zeta (0)=1^0+2^0+3^0+4^0+\cdots=1+1+1+1+\cdots}$$
　$${\displaystyle \zeta (-1)=1+2+3+4+\cdots}$$
　$${\displaystyle \zeta (-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots}$$

解析接続

$${\zeta (-1)}$$ と $${\displaystyle -\frac{1}{12}}$$ が等しくなるためには解析接続という考え方が必要になります

例えば $${-1 < x <1}$$ で収束する関数
　$${f(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots}$$
を無限等比級数の和と考えて
　$${\displaystyle \tilde{f}(x)=\frac{1}{1-x}}$$
と変形したものは、$${x \ne 1}$$ で、$${f(x)}$$ は微分可能です

もちろん、$${f(x)}$$ と微分可能なものは $${\tilde{f}(x)}$$ 以外にも色々ありますが、全ての複素数 $${z}$$ の関数としての $${f(z)}$$ で微分可能なものは $${\tilde{f}(z)}$$ だけになります
（この関数のことを正則関数といいます）
実数 $${x}$$ のときは$${\displaystyle f^\prime (x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ で $${h \to 0}$$ は $${h \to +0}$$ と $${h \to -0}$$ の2つの方向からの極限だけ考えればよかったのですが、複素数 $${z}$$ のときはそういうわけにはいきません
複素数で0に向かう方向は無数にあるからです
だから、$${x}$$ で色々あった微分可能になる関数は $${z}$$ で一気に1つに絞られるのです

解析接続
　$${D_1,\ D_2 \subset \mathbb{C}}$$ を領域とし、$${U\subset D_1 \cap D_2}$$ を空でない領域とする
　2つの関数 $${f_1:D_1 \to \mathbb{C},\ f_2:D_2 \to \mathbb{C}}$$ を正則関数とする
　$${f_2}$$ が $${U}$$ をのりしろとした $${f_1}$$ の $${D_2}$$ への解析接続であるとは、
　$${U}$$ 上で $${f_1=f_2}$$ が成り立つことである
　（注意）$${\mathbb{C}}$$ とは複素数全体でできる集合である

$${f(z)}$$ の定義域は $${|z| <1}$$ で $${\tilde{f}(z)}$$ の定義域は $${z \ne 1}$$ ですから、2つの領域の共通部分は空でなく $${|z| <1}$$ で、この共通部分上で $${f(z)=\tilde{f}(z)}$$ が成り立つから、$${\tilde{f}(z)}$$ は $${f(z)}$$ の$${z \ne 1}$$ への解析接続であるといえます
つまり
　$${\displaystyle1+z+z^2+z^3+\cdots=f(z) \overset{\tiny 解析接続} {=} \tilde{f}(z)=\frac{1}{1-z}}$$
この式の両辺に $${z=2}$$ を代入すると、不思議な式
　$${1+2+2^2+2^3+\cdots=-1}$$
が得られます
この式も実は、
　$${1+2+2^2+2^3+\cdots \overset{\tiny 解析接続的に} {=} -1}$$
と見るようにしてくださいね

1+2+3+4+…

　$${\displaystyle1+z+z^2+z^3+\cdots=f(z) \overset{\tiny 解析接続} {=} \tilde{f}(z)=\frac{1}{1-z}}$$
この式は両辺を微分しても成り立つので
　$${\displaystyle1+2z+3z^2+4z^3+\cdots=f^\prime (z) \overset{\tiny 解析接続} {=} \tilde{f}^\prime(z)=\frac{1}{(1-z)^2}}$$……①

ところで、
　　　　　　　$${\displaystyle \zeta (s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{8^s}+ \cdots}$$……②

　　　　$${\displaystyle 2\cdot \frac{1}{2^s}\zeta (s) =　　 \frac{2}{2^s}　　\ +\frac{2}{4^s}　　\ \ +\frac{2}{6^s}　　\ +\frac{2}{8^s}+ \cdots}$$……③

$${②-③}$$ で
　$${\displaystyle \left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right)\zeta (s) =1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{6^s}+\frac{1}{7^s}-\frac{1}{8^s}+ \cdots}$$

この関数も定義域外で解析接続できるので
　$${\displaystyle \left(1-\frac{1}{2^{z-1}}\right)\zeta (z) \overset{\tiny 解析接続} {=} 1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}-\frac{1}{6^z}+\frac{1}{7^z}-\frac{1}{8^z}+ \cdots}$$
が成り立ちます
これに $${z=-1}$$ を代入すると
　$${-3\zeta(-1) \overset{\tiny 解析接続的に} {=} 1-2+3-4+5-6+7-8+\cdots}$$

さて、先ほどの①に $${z=-1}$$ を代入すると
　$${\displaystyle 1-2+3-4+5-6+7-8+\cdots \overset{\tiny 解析接続的に} {=} \frac{1}{4}}$$

よって
　$${\displaystyle -3\zeta(-1) \overset{\tiny 解析接続的に} {=} \frac{1}{4}}$$

$${\displaystyle \therefore 　\zeta(-1) \overset{\tiny 解析接続的に} {=} -\frac{1}{12}}$$

つまり、$${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots \overset{\tiny 解析接続的に} {=} -\frac{1}{12}}$$ ということなのでした

補足

ゼータ関数 $${\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}}$$ は、 $${\mathrm{Re}\ s > 1}$$ のときのみ成立する関数です
（注意）$${\mathrm{Re}\ s}$$ は、複素数 $${s}$$ の実数部分を表します

しかし、$${\zeta(s)}$$ の表示形式はこれだけではありません
　$${\displaystyle \tilde{\zeta}(s)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n}{(n+1)^s}-\frac{n-s}{n^s}\right)}$$
という表示形式も存在します
これは $${\mathrm{Re}\ s > 0}$$ かつ $${s \ne 1}$$ で成立していて、さらに $${\mathrm{Re}\ s > 1}$$ で $${\zeta(s)}$$ に一致します
つまり
　$${\zeta(s) \overset{\tiny 解析接続} {=}\tilde{\zeta}(s)}$$
がいえるのです

また、
　$${\displaystyle \tilde{\tilde{\zeta}}(s)=2^s \pi^{s-1}\left(\sin \frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)}$$
という表示形式もあって、これは $${\mathrm{Re}\ s < 1}$$ で定義されています
（リーマンの論文『与えられた数より小さい素数の個数について』(1859)より）
よって $${0 < \mathrm{Re}\ s < 1}$$ をのりしろとして
　$${\zeta(s) \overset{\tiny 解析接続} {=}\tilde{\zeta}(s)\overset{\tiny 解析接続} {=}\tilde{\tilde{\zeta}}(s)}$$
となり、解析接続という観点で複素数全体（ $${s \ne 1}$$ ）で $${\zeta(s)}$$ は定義されるのです

この $${\tilde{\tilde{\zeta}}(s)}$$ を使うと直接 $${\zeta(-1)}$$ が得られます
（リーマンの論文が読解できる人のみですが……）
　$${\zeta(-1) \overset{\tiny 解析接続的に} {=}\tilde{\zeta}(-1)\overset{\tiny 解析接続的に} {=}\tilde{\tilde{\zeta}}(-1)}$$
　　　　　$${\displaystyle =2^{-1}\pi^{-1-1}\left(\sin \frac{-\pi}{2}\right)\Gamma(1-(-1))\zeta(1-(-1))}$$

　　　　　$${\displaystyle = \frac{1}{2\pi ^2}\cdot (-1)\Gamma(2) \zeta(2)}$$

　　　　　$${\displaystyle = -\frac{1}{2\pi ^2} \cdot 1! \cdot \frac{\pi ^2}{6}}$$　　　（$${\because \Gamma(n+1)=n!}$$）

　　　　　$${\displaystyle =-\frac{1}{12}}$$