オリジナルの英語BBC News
翻訳版のBBC News Japan

■ striking | 著しい、印象的な

「驚きを持って受け止められた」と訳出されています。なるほど。おれなら「珍しいことだ」と訳してしまいそうです。
Details about the health of senior royals are usually a closely-guarded secret and only announced to the public in limited circumstances, so the decision to release two significant updates in one day was striking.
王室の主要メンバーの健康状態の詳細は、通常、厳しく秘匿（ひとく）され、限られた状況でしか発表されない。そのため、同じ日に2件の発表があったことは驚きを持って受け止められた。

■ adding | 加えて

シンプルなaddingですが、カンマ(,)で前の文章につなげてセミコロン(:)からクオート(")という使い方は参考になります。
The palace called for the princess' medical privacy to be respected, adding: "She hopes that the public will understand her desire to maintain as much normality for her children as possible."
声明では、皇太子妃の医療上のプライバシーを尊重するよう呼びかけたうえで、「皇太子妃は、子供たちのためにできる限り平常を保ちたいという願いを、人々が理解してくれることを望んでいる」とした。

■ get ahead of the news narrative | 報道に先んじる

news narrativeは「ニュースのトーン」や「報道の語り口」となりますが、特に訳出されていませんね。
But much of this frankness might also have been necessary to get ahead of the news narrative, as questions would inevitably have arisen if the King and the princess began to cancel planned events.
一方で、国王と皇太子妃が予定されていた公務をキャンセルし始めれば、疑問が生じるのは必至だ。今回のような率直さの大半は、報道に先んじるために必要だったのかもしれない。

CatherineがKate、英語圏の愛称のパターンを知っていればなんてことない話ですが、知らないと「え、誰の話?」となりそうです。そして一説にはCathyよりKateの方が品位の高い愛称だとか…。

自分の勉強用に週に数本こうして記録していきます。