（１）直線$${y=mx+n}$$が楕円$${x^2+\frac{y^2}{4}=1}$$に接するための条件を$${m,n}$$を用いて表せ。

（２）点$${(2,1)}$$から楕円$${x^2+\frac{y^2}{4}=1}$$に引いた２つの接線が直交することを示せ。

（３）楕円$${x^2+\frac{y^2}{4}=1}$$の直交する２つの接線の交点の軌跡を求めよ。

                                                                                         （島根大学）

【解答】
（１）直線と楕円の方程式を連立２次方程式とみなしたときの解$${(x,y)}$$が交点の座標である。よって、直線が楕円の接線であるとき、この方程式は重解を持つことになる。従って、この２次方程式の判別式を$${D}$$とすると、$${D=0}$$となる。
直線の方程式を楕円の方程式に代入して、$${x}$$についての２次方程式を求めその判別式を0とするような$${(m,n)}$$を考えればよい。

$$
x^2+\frac{(mx+n)^2}{4}=1\\
4x^2+(mx+n)^2=4\\
4x^2+m^2x^2+2mnx+n^2-4=0\\
(m^2+4)x^2+2mnx+n^2-4=0\\
\frac{D}{4}=m^2n^2-(m^2+4)(n^2-4)=m^2n^2-m^2n^2+4m^2-4n^2+16=0\\ \\
よって、[答]  \underline{m^2-n^2+4=0} 
$$

（２）
（１）で得られた条件式$${m^2-n^2+4=0}$$を式①とする。
点$${(2,1)}$$を通る直線のうち、$${x=2}$$以外の直線は、実数$${m_1}$$を用いて$${y=m_1(x-2)+1=m_{1}x-2m_{1}+1}$$と表せる。楕円の周上の点の$${x}$$座標の最大値は$${1}$$であるから、$${x=2}$$は明らかに接線ではない。よって、式①に$${(m,n)=(m_1,-2m_{1}+1)}$$を代入して、

$$
{m_{1}}^2-(2m_{1}-1)^2+4=0\\
{m_{1}}^2-(4{m_{1}}^2-2m_{1}+1)+4=0\\
-3{m_{1}}^2+2m_{1}+3=0\\
$$

この$${m_1}$$についての２次方程式の２つの解を$${\{\alpha,\beta\}}$$とすると、解と係数の関係より

$$
\alpha \beta=\frac{3}{-3}=-1
$$

よって、２つの接線は直交する。【終】

（３）一般に楕円の外部から接線は２本引けるが、これが なす角はさまざまな値をとりうる。ここでは、２接線が直交する、すなわち、この なす角が$${\frac{\pi}{2}}$$となる条件を付与したとき、それを満たす点が座標平面上にどのような軌跡をとるかを考えることになる。

(i)まず、接線がそれぞれ$${x軸、y軸}$$に平行な場合を考える。
交点の座標$${(x,y)}$$は$${(\pm{1},\pm{2})}$$(複合任意)の４つの点である。

(ii)次に、(i)以外の場合を考える。
２接線の交点の座標を$${(X,Y)}$$、接線の傾きを$${m_2}$$とすると接線の（一般）式は$${y=m_2(x-X)+Y=m_2x-m_2X+Y}$$である。これが楕円$${x^2+\frac{y^2}{4}=1}$$に接する条件は明らかに式①により得られる。よって、式①$${m^2-n^2+4=0}$$に$${(m,n)=(m_2,-m_2X+Y)}$$を代入する。

$$
{m_2}^2-(m_2X-Y)^2+4=0\\
{m_2}^2-({m_2}^2X^2-2m_2XY+Y^2)+4=0\\
{m_2}^2-{m_2}^2X^2+2m_2XY-Y^2+4=0\\
(1-X^2){m_2}^2+2XYm-Y^2+4=0\\
$$

この$${m_2}$$についての２次方程式の２解$${\{\delta,\gamma\}}$$は、まさに２本の接線の傾きを表している。これが直交するのだから、解と係数の関係より、

$$
\delta\gamma=\frac{-Y^2+4}{1-X^2}=-1\\
-Y^2+4=X^2-1\\
X^2+Y^2=5\\
$$

原点を中心とする半径$${\sqrt 5}$$の円の方程式が得られた。(i)で除外した4つの点もこの円周上の点である。

以上(i),(ii)より
[答] $${\underline{原点(0,0)を中心とする半径\sqrt{5}の円(周)}}$$