こんにちは、Rinjuです。
量子力学を絶賛勉強中です。

今回はYouTubeチャンネル「予備校のノリで学ぶ『大学の数学・物理』」の動画「【大学物理】量子力学入門②(シュレーディンガー方程式)【量子力学】」を参考にして、シュレーディンガー方程式を作る過程をまとめてみようと思います。僕自身すっかり忘れていたので、備忘録にする側面が割と大きく、後からささっと見返してわかる程度の簡明さで書こうと思います。

粒子の存在確率$${\propto}$$ $${|\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)|^2}$$である複素関数$${\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)}$$(確率の波)が満たすべき方程式を考える。

前提として、
$$
\nu = \frac{E}{h}, \\ \lambda = \frac{h}{p}, \\  \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
$$

である。
また、波の式は通常、

$$
f(x,t) = \sin{2\pi (\frac{x}{\lambda}-\nu t}).
$$

の形で表された。

ここからは簡単のため1次元で考える。つまり3次元の位置座標$${\textbf{\textit{r}}}$$ではなく$${x}$$を使う。またポテンシャルがない状態を先に考えて、後からポテンシャルを考慮することにする。

1.運動量$${p}$$を持つ波を考える

先述の前提の式、波の式を使って、

$$
\sin{(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t}), \\\cos{(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t}).
$$

を使うのでは？？ と予想する。

2.前提の式により、$${\Delta p = 0}$$だから$${\Delta x = \infty}$$

1.で運動量$${p}$$が一つの値としてわかっていることを仮定しているので、前提の式(不確定性原理)により$${x}$$の値として観測されうる範囲は無限大という情報を持っている状態になる(つまり位置$${x}$$に関して「なんもわからん」ということ)。

「なんもわからん」ので、「$${x}$$がどんな値だろうと存在確率$${|\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)|^2}$$が一定であって欲しい。

先だって登場した三角関数(sin, cos)を使わなければならないとしたら、確率の波が下のような式で表されるならば、その大きさの2乗である存在確率は一定になってくれる。

$$
|\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)|^2 = A [\cos{(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t})+ i \sin{(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t})].
$$

ただし、$${A}$$は任意の定数である。
またこの式は、

$$
|\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)|^2 = A \exp{i(\frac{p}{\hbar}x - \frac{E}{\hbar} t)}
$$

と等価である。大きさの2乗(expの中身をマイナスにしたものを掛ける)をすれば$${A^2}$$(一定)になる。

3.$${\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)}$$を使って、$${E=\frac{p^2}{2m}}$$を表してみる

等式というのは同じものを2通りのやり方で表現できれば作ることができる。ここでは$${E=\frac{p^2}{2m}}$$を依代にして等式を作ろうというわけである。

$${E}$$を出すために$${\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)}$$を$${t}$$で$${p^2}$$があるので$${\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)}$$を$${x}$$で2階微分する。

$$
\frac{\partial \Psi (x, t)}{\partial{t}}=-i \frac{E}{\hbar} \Psi (x, t) \\ \frac{\partial^2 \Psi (x, t)}{\partial{x^2}}=- \frac{p^2}{\hbar^2} \Psi (x, t)
$$

上2式により、$${E=\frac{p^2}{2m}}$$は

$$
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t)
$$

と書き換えられる。

4.ポテンシャルを考慮する

考慮というか簡単のためノリでやる。$${E=\frac{p^2}{2m}+V(x)}$$！！

$$
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = [- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)]\Psi(x,t)
$$

5.3次元に拡張する

$$
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\textbf{\textit{r}}, t) = [- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(\textbf{\textit{r}})]\Psi(\textbf{\textit{r}}, t)
$$

シュレーディンガー方程式！！ 出来上がり！！

Rinju

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