๐ๅฎใใๅ้กใพใใฏๅฎใใใฎใใฉใใใฏใน
ๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใฏใใใณใชใผใปEใปใซใคใใฐใปใธใฅใใขใใๅฝ้ธๅธใใกใใใฉ1ๆใงใใๅ ฌๅนณใช1,000ๆใฎๅฎใใใ่ใใใใจใใ็ใพใใใใใๅฎใใใๅฝใใใใฉใใใใใใ ใใใใฃใฆใใใฎใงใใใฐใไฝใใใฎๅฎใใใๅฝใใใใจใๅใๅ ฅใใใฎใๅ็็ใงใใใ
ใใไบ่ฑกใใ้ๅธธใซๅฏ่ฝๆงใ้ซใใใจ่ฆใชใใใใฎใฏใใใฎไบ่ฑกใ็บ็ใใ็ขบ็ใ0.99ใใๅคงใใๅ ดๅใซ้ใใใใจใใใใใใฎใใใช็็ฑใใใๅฎใใใฎใใฑใใ1ใๅฝใใใชใใจใใๅฝ้กใๅใๅ ฅใใใใจใฏๅ็็ใงใใใจๆจๅฎใใใใๅฎใใใๅ ฌๆญฃใงใใไปฅไธใใใฑใใ2ใๅฝใใใชใใจใใๅฝ้กใๅใๅ ฅใใใใจใฏๅ็็ใงใใใๅฎ้ใๅฎใใใฎๅใ ใฎใใฑใใiใซใคใใฆใใใฑใใiใๅฝใใใชใใใจใๅใๅ ฅใใใใจใฏๅ็็ใงใใใใใใใใใฑใใ1ใๅฝใใใชใใใจใๅใๅ ฅใใใใฑใใ2ใๅฝใใใชใใใจใๅใๅ ฅใใใใฑใใ1,000ใๅฝใใใชใใใจใๅใๅ ฅใใใพใงใใใฑใใ1ใๅฝใใใชใใใจใๅใๅ ฅใใใใจใฏใใฉใฎใใฑใใใๅฝใใใชใใใจใๅใๅ ฅใใใใจใๅ็็ใงใใใใจใๆๅณใใใใฑใใ1ใๅฝใใใใฉใฎใใฑใใใๅฝใใใชใใจใใ็็พใใๅฝ้กใๅใๅ ฅใใใใจใๅ็็ใงใใใใจใๆๅณใใใ
ๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใฏใๅ็็ใชๅ่ซพใๆฏ้ ใใ3ใคใฎ้ญ ๅ็ใชๅ็ใ็็พใๅฐใใใจใๅฎ่จผใใใใใซ่ๆกใใใ๏ผ
็ใงใใๅฏ่ฝๆงใ้ๅธธใซ้ซใๅฝ้กใๅใๅ ฅใใใใจใฏๅ็็ใงใใใ
็็พใใฆใใใใจใๅใใฃใฆใใๅฝ้กใๅใๅ ฅใใใใจใฏ้ๅ็็ใงใใใใพใ็็พใใฆใใๅฝ้กใๅใๅ ฅใใใใจใ้ๅ็็ใงใใใ
ใใๅฝ้กAใๅใๅ ฅใใใใจใๅ็็ใงใใใๅฅใฎๅฝ้กA'ใๅใๅ ฅใใใใจใๅ็็ใงใใใชใใฐใAใจA'ใๅใๅ ฅใใใใจใฏๅ็็ใงใใใ
ใใฎใใฉใใใฏในใฏใ็ฅ่ญ่กจ็พใจไธ็ขบๅฎใชๆจ่ซใฎๅบ็คใจใชใใใใคใใฎๅ้กใๆ่ตทใใฆใใใใใ็พๅจใใชใ้ขๅฟใ้ใใฆใใใใใชใใกใ่ชค่ฌฌๆงใใณใชใธใใซใชไฟกๅฟตใ่ซ็็ๅธฐ็ตใฎ้ขไฟใไฟกๅฟตใฎๅบๅฎๅใซใใใฆไธ่ฒซๆงใ็ตฑ่จ็่จผๆ ใ็ขบ็ใๆใใๅฝนๅฒใ่ซ็็ไธ่ฒซๆงใจ็ขบ็็ไธ่ฒซๆงใๅ็็ไฟกๅฟตใซๅใผใๆญฃ็ขบใช่ฆ็ฏ็ๅใชใฉใงใใใ
ๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใๆๅใซ็บ่กจใใใใฎใฏ1961ๅนดใฎKyburgใฎ "Probability and the Logic of Rational Belief "ใงใใใใใใฉใใใฏในใฎๆๅใฎๅฎๅผๅใฏ1959ๅนดใฎAssociation for Symbolic Logicใจ1960ๅนดใฎInternational Congress for the History and Philosophy of Scienceใง็บ่กจใใใ่ซๆ "Probability and Randomness "ใงใใใใใฎ่ซๆใฏKyburg (1987)ใซๅ้ฒใใใฆใใใ
ๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใฏ่ช่ญ่ซใฎไธญๅฟ็ใชใใใใฏใจใชใฃใฆใใใใใฎใใบใซใๅใๅทปใ่จๅคงใชๆ็ฎใฏใใใฎๆฌๆฅใฎ็ฎ็ใๆๆงใซใใๆใใใใใใซใคใใฐใฏใ็ขบ็ใซ้ขใใๅฝผใฎ้ฉๆฐ็ใช่ใๆน๏ผKyburg 1961, Kyburg and Teng 2001๏ผใฎ็นๅพดใไผใใใใใซใใฎๆ่ๅฎ้จใๆๆกใใใKyburgใซใจใฃใฆใๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใฏๅฎ้ใซใฏใใฉใใใฏในใงใฏใชใใ
ใใใงใใใชใผใฝใใใฏในใช็ขบ็่ซ่ ใซใจใฃใฆใฏใ็ฌฌไบใจ็ฌฌไธใฎๅๅใ็ฌฌไธใงใใใ็ฌฌไธใฎๅๅใฏๅฆๅฎใใใใใใใงใใๆฌๅฝใฏใใฉใใใฏในใงใฏใชใ่ชคใใงใใใจใใไธปๅผตใ่ฆใใใใ ใใใ่งฃๆฑบ็ญใฏใ็ฌฌไธๅ็ใๅฆๅฎใใใใจใงใใใๅ็็ใชๅใๅ ฅใใฎ่ใๆนใๅฆๅฎใใใใจใงใใใ็ขบ็ใฎๅบๆฌ็ใช็ฅ่ญใใใใฐใ็ฌฌไธๅ็ใฏๅฆๅฎใใใใฏใใงใใใๅฏ่ฝๆงใ้ๅธธใซ้ซใๅบๆฅไบใซใคใใฆใใใฎๅบๆฅไบใซใคใใฆใฎๅ็็ใชไฟกๅฟตใฏใใใใๅฏ่ฝๆงใ้ๅธธใซ้ซใใจใใใใจใ ใใงใใใใใใ็ๅฎใงใใใจใใใใจใงใฏใชใใ
่ช่ญ่ซใฎๆ็ฎใฎใปใจใใฉใฏใใชใผใฝใใใฏในใช่ฆณ็นใใใใฎใใบใซใซใขใใญใผใใใใใใใใใจใง็ด้ขใใ็นๅฎใฎ็ตๆใซๅใ็ตใใงใใใใใฎใใใใใฎๅฎใใใฏๆ็่ซ๏ผไพใใฐใใฏใฉใคใณ1981ๅนด๏ผใ็ฅ่ญไธปๅผตใฎๆกไปถ๏ผไพใใฐใJ.P.ใใผใฝใณ2004ๅนด๏ผใฎ่ญฐ่ซใจ้ข้ฃใใฆใใใใพใใๅฎใใใฎๆ่ๅฎ้จใฎ็นๅฎใฎ็นๅพดใซ็็ฎใใใใบใซใฎ่งฃๆฑบๆก๏ผไพใใฐใPollock 1986๏ผใ่ฆๅบใใใจใไธ่ฌ็ใงใใใใใใซใใใDavid Makinsonใฎๅบๆใฎใใฉใใใฏในใชใฉใไปใฎ่ช่ญ่ซ็ใใฉใใใฏในใใ็ฐใชใๆง้ ใๆใคใๅฎใใใใจใฎๆฏ่ผใ่ชๅผใใใใใใฎๆฆ็ฅใฏ(Kyburg 1997)ใ(Wheeler 2007)ใงๆฑใใใฆใใใ
ๅฒๅญฆ็ใช่ซ็ๅญฆ่ ใAIใฎ็ ็ฉถ่ ใฏใ3ใคใฎๅ็ใฎๅผฑใใใใใใผใธใงใณใ่ชฟๅใใใใใจใซ่ๅณใๆใคๅพๅใใใใJim HawthorneใจLuc Bovensใฎ(1999)ไฟกๅฟตใฎ่ซ็ใGregory Wheelerใฎ(2006)1-monotoneใญใฃใใทใใฃใฎไฝฟ็จใชใฉใๅคใใฎๆนๆณใใใใ Bryson Brown (1999)ใฎไฟๅญไธป็พฉ็่ถ ไธ่ฒซๆง่ซ็ใฎๅฟ็จใIgor DouvenใจTimothy Williamson (2006)ใฎ็ดฏ็ฉ็้ๅ่ชฟ่ซ็ใธใฎใขใใผใซใHoracio Arlo-Costaใฎๆๅฐใขใใซ๏ผๅคๅ ธ็๏ผๆง็ธ่ซ็ใฎไฝฟ็จ๏ผ2007๏ผใJoe Halpern (2003)ใฎไธ้็ขบ็ใฎไฝฟ็จใชใฉใงใใใ
ๆๅพใซใ็งๅญฆๅฒๅญฆ่ ใๆๆๆฑบๅฎ็งๅญฆ่ ใ็ตฑ่จๅญฆ่ ใฏใๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใใไธ็ขบๅฎใชๆ ๅ ฑใ้็ดใใใใใฎๅ็็ใชๆนๆณใๆง็ฏใใ้ใซ็ด้ขใใ่ค้ใใฎๅๆใฎไพใจใใฆใจใใใๅพๅใใใใ
ๅฎใใใฎใใฉใใใฏในใจใฏใๅฎใใใใใฎไปใฎใฎใฃใณใใซใซใใใฆใไบบใ ใ้ๅธธใซไฝใ็ขบ็ใงใใ่ตทใใใชใไบ่ฑกใซๅฏพใใฆใ้ใๆใ่กๅใๆใใพใใใใฎใใฉใใใฏในใฏใ็ตๆธๅญฆใๅฟ็ๅญฆใซใใใๆๆๆฑบๅฎใฎ็่ซใจ้ข้ฃใใฆใใพใใ
้ๅธธใๅ็็ใชๆๆๆฑบๅฎ่ ใฏใๆๅพ ๅคใ้ซใ้ธๆใใใใใจใไบๆณใใใพใใๆๅพ ๅคใฏใๅ็ตๆใฎ็ขบ็ใจใใฎ็ตๆใฎไพกๅค๏ผใพใใฏใๅน็จใ๏ผใฎ็ฉใฎๅ่จใง่จ็ฎใใใพใใใใใใๅฎใใใฎใใใชใฎใฃใณใใซใงใฏใๆๅพ ๅคใ่ณผๅ ฅใใใใฑใใใฎไพกๆ ผใใใ้ๅธธไฝใใชใใพใใใคใพใใ็ตฑ่จ็ใซใฏใๅฎใใใ่ฒทใใใจใฏใ้ใๅคฑใ่ก็บใจใชใใพใใ
ใใใซใใใใใใใๅคใใฎไบบใ ใๅฎใใใ่ณผๅ ฅใใพใใใใใฏไปฅไธใฎใใใช็็ฑใซใใใใฎใงใ๏ผ
้ๅคง่ฉไพกใใใๅๅฉใฎ็ขบ็: ไบบใ ใฏไฝ็ขบ็ใฎไบ่ฑกใฎ็บ็็ขบ็ใ้ๅคง่ฉไพกใใใกใงใใ้ๅธธใซไฝใ็ขบ็ใงใใๅๅฉใฎๅฏ่ฝๆงใใใใจๆใใใจใๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅใๆฑบๆญใใพใใ
ๅคขใๅธๆใฎไพกๅค: ๅฎใใใ่ณผๅ ฅใใใใจใงใไบบใ ใฏๅคง้ใๅพใๅคขใๅธๆใใ่ณผๅ ฅใใใพใใใใฎๅคขใๅธๆใ่ฟฝใๆฑใใๅฟ็็ใชๆบ่ถณๆใฏใๅฎใใใฎๆๅพ ๅคไปฅไธใฎไพกๅคใๆใคใใจใใใใพใใ
ใชในใฏใๅใๅพๅ: ไธ้จใฎไบบใ ใฏใๅฐใใชใชในใฏใๅใใใจใซใใฃใฆๅพใใใๅคงใใชๅ ฑ้ ฌใฎๅฏ่ฝๆงใซ้ญ ๅใๆใใพใใ
ใใฎใใฉใใใฏในใฏใไบบ้ใฎๆๆๆฑบๅฎใๅธธใซ็ด็ฒใซๅ็็ใงใชใใใจใ็คบใใฆใใใๅฟ็็่ฆๅ ใๆๆ ใ็ตๆธ็ๆฑบๅฎใซๅคงใใชๅฝฑ้ฟใไธใใใใจใๆใใใซใใฆใใพใใ
ๅฎใใใฎๆๅพ ๅค๏ผๆๅพ ้้ก๏ผใฏใๅ่ณ้ใฎ้้กใซใใฎ่ณ้ใๅพใ็ขบ็ใๆใใใใฎใฎ็ทๅใง่จ็ฎใใใพใใไธ่ฌใซใๅฎใใใฎๆๅพ ๅคใฏใใฎๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅไพกๆ ผใใใไฝใใใจใๅคใใงใใใ้ๅธธใซ้ซ้กใชๅฝ้ธ้ใใใๅ ดๅใซใฏใ่ณผๅ ฅใใใใจใฎใๅฟ็็ใชไพกๅคใใ่ๆ ฎใใๅฟ ่ฆใใใใพใใ
ๅฎใใใฎๆๅพ ๅค E ใ่จ็ฎใใๅ ฌๅผใฏไปฅไธใฎใใใซใชใใพใ๏ผ
ใใใงใ
Piโ ใฏๅ่ณ้ i ใๅฝใฆใ็ขบ็ใ
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ๆๅพ ๅคใฎ่จ็ฎๅผใฏไธ่ฌใซใใใไบ่ฑกใฎ็ตๆใจใใฆๅพใใใๅคใซใใใฎ็ตๆใ็บ็ใใ็ขบ็ใไนใใใใฎใฎๅ่จใงๅฎ็พฉใใใพใใใใฎ่จ็ฎใซใใใใฉใณใใ ใชไบ่ฑกใฎ็ตๆใจใใฆๆๅพ ใใใๅนณๅ็ใชๅคใ็ฎๅบใใใพใใๅฎใใใฎๆ่ใงใฏใใใฎ่จ็ฎใซใใฃใฆใๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅใๅนณๅ็ใซใฉใฎ็จๅบฆใฎใไพกๅคใใๆใคใใ็คบใใใพใใใใใใฏ้ๅธธใๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅไพกๆ ผใใใไฝใใใจใๅคใใงใใ
ๅ ทไฝไพใ้ใใฆๅฎใใใฎๆๅพ ๅคใ่จ็ฎใใๆนๆณใ่ฆใฆใฟใพใใใใไปฅไธใฎใทใณใใซใชๅฎใใใฎใฑใผในใๆณๅฎใใพใ๏ผ
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$0 (ๅฝ้ธใใชใ): 99.9%ใฎ็ขบ็
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$1,000,000 (้ซ้กๅฝ้ธ): 0.01%ใฎ็ขบ็
ใใใใฎๆ ๅ ฑใๅบใซใๅฎใใใฎๆๅพ ๅคใ่จ็ฎใใฆใฟใพใใใใ
ๆๅพ ๅค E ใฎ่จ็ฎๅผใฏใๅ่ณ้ใซใใฎ่ณ้ใๅพใ็ขบ็ใไนใใใใฎใฎ็ทๅใใใๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅไพกๆ ผใๅผใใใใฎใงใใๆฐๅผใง่กจใใจไปฅไธใฎใใใซใชใใพใ๏ผ
(็ขบ็1ร่ณ้1)+(็ขบ็2ร่ณ้2)+โฏโๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅไพกๆ ผE=(็ขบ็1ร่ณ้1)+(็ขบ็2ร่ณ้2)+โฏโๅฎใใใฎ่ณผๅ ฅไพกๆ ผ
ใใฎใฑใผในใซๅฝใฆใฏใใใจใ
(0.999ร0)+(0.0009ร500)+(0.0001ร1,000,000)โ2E=(0.999ร0)+(0.0009ร500)+(0.0001ร1,000,000)โ2
ใใฎ่จ็ฎใๅฎ่กใใฆใฟใพใใใใ
ใใฎๅฎใใใฎไพใง่จ็ฎใใๆๅพ ๅคใฏ็ด $98.45 ใงใใใใใฏใใใฎๅฎใใใ่ณผๅ ฅใใๅ ดๅใๅนณๅใใฆ็ด $98.45 ใฎใไพกๅคใใใใใใจใ็คบใใฆใใพใใ
# ๅฎใใใฎๆๅพ
ๅคใ่จ็ฎใใ้ขๆฐ
def calculate_lottery_ev():
purchase_price = 2 # ๅฎใใใฎ่ณผๅ
ฅไพกๆ ผ
probabilities = [0.999, 0.0009, 0.0001] # ๅ่ณ้ใฎๅฝ้ธ็ขบ็
prizes = [0, 500, 1000000] # ๅ่ณ้้ก
# ๆๅพ
ๅคใฎ่จ็ฎ
expected_value = sum(p * prize for p, prize in zip(probabilities, prizes)) - purchase_price
return expected_value
# ๆๅพ
ๅคใฎ่จ็ฎใจ็ตๆใฎ่กจ็คบ
ev = calculate_lottery_ev()
print(f"The expected value of the lottery ticket is: ${ev:.2f}")
ใ้กใ่ดใใพใ