龍孫江(りゅうそんこう)可換環論botオペレーター

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龍孫江(りゅうそんこう)可換環論botオペレーター

数学YouTuberこころえ.Twitterから軸足を移しています.数学をきっかけにいらっしゃった方はMathtodon https://mathtod.online/web/@ron1827 も是非ご覧ください.

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  • 龍孫江の群論・環論道具箱

    龍孫江の群論道具箱・環論道具箱の記事を同時に読める合冊版です.それぞれ購読するよりはお得な価格設定となっております!龍孫江へのご支援を兼ねてご購読いただければ幸いです.

  • 龍孫江の群論道具箱

    群論の初歩について,基本事項をまとめます.群論について,学び始めた人,もう少し良く知りたい人におすすめです.月6回ほどの更新と,おまけテキストを載せる予定です.

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    環論の初歩について,基本事項をまとめます.環論を学び始めた人,もう少し良く知りたい人におすすめです.月6回ほどの更新と,おまけテキストを載せる予定です.

  • 龍孫江の「畏れながら申し上げます」

    「口を開けば唇寒し、ただ皆様は温かし」 そんな気持ちで数学、または数学から学んだことについて語って参りたいと思います。お代はいりませんがお捻りは歓迎でございます。

  • 『龍孫江の数学日誌』in note

    『龍孫江の数学日誌』note版では、代数学の基本的な問題を1問ずつ取り上げ、ポイントとなる定理とともに解説します。大学で学ぶ代数学を薄く広く取り上げたいと思っています。  その都度ご精算いただく各回購入版(1回100円)と1か月単位の継続講読版(1か月1000円)がございまして、用途に合わせてお選びいただけます。いずれも動画発表に伴って公開されます。一か月16回以上の更新がございますので、迷われる場合は継続講読版をお勧めいたします。

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数学日誌別館テキスト版廃刊のお知らせ

日頃は『龍孫江の数学日誌』をご贔屓いただきまして有難うございます。 昨年5月の数学日誌別館(YouTube/note)開始以来、多くの方にご贔屓を賜り、おかげさまで YouTube チャンネルは1000人余の方にご登録いただくに至りました。 YouTubeチャンネルを運営する者としては、登録者1000人はひとつの、しかも重要な区切りです。おそらく多くのYouTuberがそう考えているのではないかと思います。というのも、YouTubeに投稿した動画に広告を載せて掲載料を頂け

    • 群論道具箱ダイジェスト(01~10回)

      各見出しから,各回の記事へと飛べます.マガジン 龍孫江の群論道具箱(月額400円) または 龍孫江の群論・環論道具箱(月額700円) の購読者は過去記事が全て読めます.購読解消後は購読月中の更新分のみ読めますので,気になる回がある月のみでも購読いただければ幸いです. 第1回 群の定義群を定義しました.群とは「さまざまな変換の集まり」がもつ性質を抽出して一般化したもので,それゆえに数学のいろいろなところに顔を出します. 第2回 回転と平行移動平面の変換がなす群の例として

      • イデアルの生成系〈龍孫江の環論道具箱〉

          イデアルが環の重要な部分集合であることが少しずつあらわになりつつあります.前回,部分集合を最も”近似する”イデアルとして,部分集合が生成するイデアルを導入しました.今回は,この部分集合が生成するイデアルを記述します. https://youtu.be/DnS5l2F1sK4 補題(イデアルの生成系)環$${A}$$の部分集合$${S}$$が生成するイデアルは $${ \{ a_1 s_1 + \cdots + a_n s_n \mid n \in \mathbb{N

        • 「待った」をしたい日々──数学科へ進む人たちへ──

           さのたけとさんの記事「数学者を目指す」を読み返して,自分の二十代,つまり研究者としてなんとかやっていきたいと思っていたころをふっと思い出した.  自分がなんで研究者になれなかったかといえば,全体的にいろいろ足りなかったからという一言に尽きる.「待った」をかけてやり直せるなら,もうちょっとうまくやれる気はする.さすがに今から数学科に戻って学生生活をやり直そうとかは思わないけれど,今から足腰を鍛え直して研究論文が出せたら,とはちょっと思う.  余談だけど,大学から出た30歳

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        • 龍孫江の数学日誌 in note(令和3年8月分)
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          部分群の交叉と合併〈龍孫江の群論道具箱〉

          与えられた群を調べるうえで,部分群がどれほどあるかという問題はとても重要です.ですから,いくつかの部分群から別の部分群を作り出す操作があれば重宝します. https://youtu.be/1KgeIwc_gXM 定理(部分群の交叉)群$${G}$$の任意個の部分群$${H_\lambda~(\lambda \in \Lambda)}$$の交叉$${\bigcap_\lambda H_\lambda}$$はまた$${G}$$の部分群となる.

          部分群の交叉と合併〈龍孫江の群論道具箱〉

          イデアルの交叉〈龍孫江の環論道具箱〉

           イデアルを導入し,可逆元がイデアルを用いて特徴づけられることを示しました.これから,さまざまな要素の性質をイデアルによって記述していくわけですが,その途中でイデアル(の集まり)から新たなイデアルを作り出す操作が必要になったりします. https://youtu.be/Xh5sO7Ztqz8 補題(イデアルの交叉)環$${A}$$のイデアル$${I, J}$$の交叉$${ I \cap J}$$は$${A}$$のイデアルである.

          イデアルの交叉〈龍孫江の環論道具箱〉

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          指数法則と巡回群〈龍孫江の群論道具箱〉

           今回から,部分群を用いて群の観察をしていきます.群がひとつ与えられて「それはどんな群か?」を目指して歩みを進めるとき,まず最初に考えるのは その群はどんな部分群をどれだけもつか? でしょう.つまり,与えられた群を「少し小さな群の連なり」に分解しようというわけです(ここでいう「連なり」は定義が明確な数学用語ではなく,ただのイメージ語です). https://youtu.be/LX103hYqXlo  そこで,まずある要素1個から作られる群から考えます. 記法(指数表

          指数法則と巡回群〈龍孫江の群論道具箱〉

          イデアルと可逆元〈龍孫江の環論道具箱〉

           前々回にイデアルを導入し,イデアルを用いて環の要素のさまざまな関係を解き明かしたいというのが当面の目標でした.その端緒に,まず可逆元を特徴づけましょう.今回の話を通して$${A \ne 0}$$を環とします. https://youtu.be/DJm7x6_IcwQ 定理(イデアルと可逆元)各$${a \in A}$$に対し, $${a}$$が$${A}$$内で可逆である$${\iff}$$$${(a) = A}$$.

          イデアルと可逆元〈龍孫江の環論道具箱〉

          部分群と可除律〈龍孫江の群論道具箱〉

           部分群を定義して,その例をいくつか見ました.より特徴的な部分群に進む前に,しばしば群論のテキストで演習問題などで取り上げられる次の定理を紹介します. https://youtu.be/oahAayrvNrk 定理(部分群と可除律)群$${G}$$の部分集合$${H \ne \varnothing}$$に対し以下は同値である: $${H}$$は$${G}$$の部分群である. 任意の$${a, b \in H}$$に対し$${a^{-1}b \in H}$$.

          部分群と可除律〈龍孫江の群論道具箱〉

          単項イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

           前回は準同型の核の持つ性質を抽出してイデアルを定義しました.当面の目標は「イデアルこそが準同型の核となりうる部分集合である」,すなわち ある環準同型$${A \to B}$$の核はイデアルである $${A}$$の総てのイデアルはある準同型$${A \to B}$$の核として表せる を示すことです.準同型の核がイデアルであることは定義からも明白ですから,下の主張が当面の課題です. https://youtu.be/_tyQiM-yIR4  この課題に取り組む前に,特

          部分群の例〈龍孫江の群論道具箱〉

           前々回に部分群を導入しました.いろいろ考える中で部分群の例は山のように出会うことになるとは思いますが,いくつか簡単な例を見ておきましょう. 例1(自明な例) どんな群$${G}$$に対しても,$${G}$$自身および$${ \{1\} }$$はつねに$${G}$$の部分群となる.これらを$${G}$$の自明な部分群という.

          イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

           準同型を用いて環を比較するとき,単射とどれくらい離れているかを示す尺度として準同型の核を導入しました.このように興味深い部分集合が与えられたとき,では「どのような部分集合ならば準同型の核となれるのか?」という問題が自然に励起されます.しばらくはこの疑問にこたえるべく考えていきたいと思います. https://youtu.be/OBqljeHCRr0  このような「○○なるものは何か?」という問いに対して,大きく2つのアプローチがあります. 必要条件(〇〇から導かれる条

          同じ演算で群になる〈龍孫江の群論道具箱〉

          前回,やっと部分群を導入しました.部分群を「乗法と逆元で閉じている空ではない部分集合」と定義し,これらの条件から部分群が(その名の通り)群をなすことを示しました.今回はその逆で,ある群の部分集合でもとの群の演算(の制限)によって群となる部分集合が部分群であること,具体的には次の事実を示します. https://youtu.be/97SDFZ_JCX4 命題(同じ演算で群になる集合) 群$${G}$$の部分集合$${H \ne \varnothing}$$が$${G}$$の

          同じ演算で群になる〈龍孫江の群論道具箱〉

          準同型の計算〈龍孫江の環論道具箱〉

           環を比較するための道具として準同型写像を定義し,単射性を測る指標としてその核を導入しました.今回は過去に扱った環の例(その1,その2)を用いて準同型の計算例をご紹介します. https://youtu.be/2Y0VQbkiimg

          部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

          前回,演算が閉じていることを定義して,部分群を定義する道具が揃いました. https://youtu.be/dSdeKIqXg0A 定義(部分群)群$${G}$$の部分集合$${H \ne \varnothing}$$が,$${G}$$の乗法$${m \colon G \times G \to G}$$および逆元をとる操作$${i \colon G \to G}$$について閉じている,すなわち 各$${a, b \in H}$$に対し$${ab \in H}$$ 各$