この記事では、ピタゴラス音律とは何かについてわかりやすく解説しています。
数学的に、ピタゴラス音律を計算によって求めることも行なっています。

参考文献はこちらです。

そもそも音律とは？

音楽を奏でるとき、どんな高さの音を使うのかというルールのことを音律と言います。

(似た用語に音階という言葉がありますが、
こちらは音律の中から、実際の楽曲に使われる音を選び出し、高さ順に並べたもののことをいいます。)

音律とは、音をデジタル化したものです。

ここでいうデジタルとは「連続量を段階的に区切る」という意味であり、
例えばピアノという楽器は、あらかじめ調律された高さの音しか出すことができないため、デジタルな楽器であると言うことができます。

対してヴァイオリンという楽器は、連続的に様々な高さの音を出すことができるため、アナログな楽器です。

音律が研究された理由の1つとして、「デジタル楽器とアナログ楽器が合奏するため」ということがありました。

特にバロック時代、器楽が発展していく中で、音律が盛んに研究されるようになったのです。

音の高さは足し算でなく掛け算

人間の耳は、差ではなく比によって音程を感じ取っています。

例えば半音と半音の間の周波数を見てみると、このようになります。

これらの数値は、差が一定な等差数列ではなく、比が一定な等比数列になっています。

つまり音律の導出には掛け算という演算を使います。

私たちは差の感覚の方が慣れ親しんでおり、
さらに音律の計算では累乗や対数の計算を行うので、難しく感じますよね…😂

オクターブ等価性

ギターの弦を張り、ちょうど半分を押さえて鳴らすと、もとの弦の長さの音より高く、よく似ていると感じる音が出ます。
これを音楽心理学用語でオクターブ等価性といいます。

(もとの弦の音の高さが『ド』だった場合、ちょうど半分を押さえて鳴らした音『♪』が、もとの弦の音の高さの『ド』によく似ていたため、『♪』も同じ『ド』という名前にしよう！ということになったのです。)

弦の長さが半分になると、振動数は2倍になっています。1/3になると3倍、1/4になると4倍になります。
つまり弦の長さは振動数に反比例します。

❶人間の耳は音を比で感じているということと、❷オクターブ等価性についてわかったところで、ピタゴラスが音階を導出した方法を辿りましょう。

ピタゴラス音律の作り方

ピタゴラス音律を、計算によって求めてみましょう。

 ①3倍音(完全5度)の発見

ギターの弦を張り、今度は長さを半分ではなく1:2に分けると、もとの弦の長さの音の高さとよく調和する音が出ます。

この時、もとの高さが『ド』だと『ソ』の音が出ます。
この『ド』と『ソ』は完全5度の音程と呼ばれています。
(オクターブの次に重要な音程です。)

もとの高さ(『ド』)を基本波に設定すると、1:2に分けた音の『ソ』は3倍波になります。
基本波と3倍波は心地よく響きます。

基本波と3倍波はよく調和するので、
次は3倍波の3倍波を計算によって求め、さらにこの操作を繰り返して音律を作れば、
和音を綺麗に鳴らすことのできる(音律の中の音を同時に鳴らすとよく調和する)音律が作れそうですね。

 ②3倍音に対しての3倍音を見つける

『ド』に対しての『ソ(数値は3/2=1.5)』が見つかったので、次は3倍波の3倍波(『ソ』に対しての『レ』)の数値を求めましょう。

もとの高さを1とすると、1オクターブ高い音は2倍となるため、値は2です。

オクターブ等価性(何回×1/2にしても同じ音になる)を使って、数値を1〜2の範囲に調整していきます。

…さて、音律を作るということは、オクターブ内をどのようにデジタル化するか(連続量を段階的に区切るか)ということです。
現在では1オクターブは12の音に分割されていますね。

なぜ12という数字になったのかがもうすぐ判明します。

 ③およそ2になる数(円にするに)は？

3倍波の計算のゴールは、3のm乗/2のn乗の値が2になること(1オクターブ上に到達すること)です。

ただ2と3は互いに素なので、

となるm,nは存在しません。
(3のm乗は常に奇数になるからです。)

ただ、およそ2になる数は存在し、

となります。

『ド』に3を掛けると『ソ』、『ソ』に3を掛けると『レ』、『レ』に3を掛けると『ラ』、『ラ』に3を掛けると『ミ』…
という作業を12回繰り返すと、およそ『ド』に戻ってくるということです。
(五度圏の円をイメージすると、わかりやすいです。)

このようにして、1オクターブの中は12個の音に分割されることになったのですが、
このおよそというしわ寄せ(ピタゴラスコンマ)が、様々な問題を引き起こすことになってしまいました……(次回へ続きます。)

まとめ

次回の音律の科学⑵では、ピタゴラスコンマ、大半音と小半音、うなり(ウルフ)について解説する予定です。

最後まで読んでくださり、ありがとうございます！

さくら舞🌸