モノローグフェチなので集めてみました。田村ゆかりさんは、なのはとD.C.でモノローグしてますね。

女の子のモノローグで始まるアニメ​

・リリカルなのは
・神無月の巫女
・桜蘭高校ホスト部
・D.C.Ⅱ S.S.
・黒魔女さんが通る!!
・H2O -FOOTPRINTS IN THE SAND-
・ちびまる子ちゃん
・ARIA The ORIGINATION
・ご注文はうさぎですか？
・小林さんちのメイドラゴン

男の子のモノローグで始まるアニメ

・ef a tale of memories
・ef a tale of melodies
・CLANNAD
・true tears
・とらドラ！

番外：物語を読む感じで始まるアニメ

・ウテナ
・プリンセスチュチュ
・AIR

番外：モノローグが始まりそうなのに始まらなかったアニメ

・君が望む永遠

他にモノローグで始まるアニメがあったらご報告いただけると嬉しいです。