正５角形$${ABCDE}$$
辺$${1}$$
$${CD}$$の中点$${T}$$
$${AT}$$と$${BC}$$の延長線の交点$${P}$$
$${\angle{}TAQ=90^\circ}$$
$${AQ=1}$$
直角３角形$${\triangle{}APQ}$$とすると、
$${\phi:\frac{1}{2}=(\phi+1):\frac{\phi}{2}=2\phi:1}$$
$${\phi^2=\phi+1}$$
$${\phi^2-\phi-1=0}$$

$${cf.}$$
$${A\quad{}\phi^2-\phi-1=0}$$
$${y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}}$$
$${(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2})(x+\frac{\sqrt{5}-1}{2})=0}$$

$${B\quad{}\phi^2-(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2=0}$$
$${y=x^2-(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2}$$
$${(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2})(x+\frac{\sqrt{5}+1}{2})=0}$$

$${C\quad{}\phi^2-(\sqrt{5}+1)\phi+(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2=0}$$
$${y=(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2}$$
$${(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2=0}$$

一般式にすると、
$${(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2})(x\pm{}\alpha)=0}$$

$${A}$$と$${B}$$と$${C}$$と一般式
それぞれの商において矛盾はないのか？
$${\frac{0}{0}=1\quad?}$$

$${0:z=0:z}$$
$${\frac{z\cdot0}{z}=0}$$
$${\frac{z\cdot0}{0}=z}$$
$${\therefore}$$
$${\frac{0}{0}=1\quad?}$$

$${\phi}$$は重根であるべきか?

投稿の「正２５辺体置物」を参照して下さい。