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数学とか物理とかプログラミングが好きです。京都大学大学院理学研究科修士課程を物理学で修…

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数学とか物理とかプログラミングが好きです。京都大学大学院理学研究科修士課程を物理学で修了→アクチュアリー正会員
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誤差と有効桁数の考え方

誤差と有効桁数の定義や考え方について説明します。筆者のnote記事に頻出の概念ですので、ぜひお読みください。 絶対誤差定義：絶対誤差とは、測定値と真値の差の絶対値を指します。すなわち、 と定義します。ここで〈測定値〉は、数値計算やシミュレーションにおいて、〈計算値〉と読み替えていただいても構いません。 例を示しましょう。 例： 長さ4 cm（真値）の棒の長さを測ったところ、3.8 cm（測定値）だった。 ⇒ 〈絶対誤差〉= ｜3.8 cm - 4 cm｜= 0.2 c

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    • 効率的フロンティアの解析解

      ここ数日、効率的フロンティアと接点ポートフォリオの解析解について考えていましたので、忘備的に投稿しておきます。 効率的フロンティアを求める問題 $${n}$$ 個の金融資産のリターン・リスクをそれぞれ $${\mu_i, \sigma_i (i=1,2,\cdots,n)}$$ と表す。また、資産 $${i,j}$$ の共分散を $${\sigma_{ij}}$$ と表す。このとき、効率的フロンティアを表す$${\mu, \sigma}$$ の関係式を求めよ。 ノーテー

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      • 【シミュレーション】食物連鎖

        肉食動物、草食動物、植物、種子の 4 種類のキャラクターによる食物連鎖の様子を、エクセルVBAでシミュレーションしてみました！ イメージといっても、イメージが湧かないと思いますので、最初にシミュレーションの一部を示します。 上の画像のように、4 種類のマーク（キャラクター）が干渉しあい、食物連鎖を起こしていく様子をシミュレートしました。 元ネタここで元ネタがあることを示しておきます。 上の動画で行っていることを、エクセル上で再現した感じです。 キャラクターの説明ここ

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        • 【シミュレーション】続・ギャンブラーの破産確率

          こちらのnoteで紹介したギャンブラーの破産確率について、設定を変えてシミュレーションしてみました！ 新しい設定以前のnoteでは、「ギャンブラーの持ち点の推移」の確率分布を確率 p で +1、確率 1 - p で -1 としていました。今回の新しい設定では、正規分布を用います。 設定： はじめに資金200万円を持っている。 目標金額を300万円に定めて、ギャンブルを繰り返す。 試行： ギャンブルで得られるお金は、結果がプラスとなる確率 p 、標準偏差 50 万円の正規分

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        誤差と有効桁数の考え方

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          スムージング（平滑化）の話 5：まとめ

          ここまでスムージングの方法として、「最小二乗法」「5 点移動平均法」「グレヴィルの方法」を説明してきました。今回はこの3つの方法を比較して、まとめていきます！ スムージング（平滑化）の話 １：概論 ２：最小二乗法 ３：5 点移動平均法 ４：グレヴィルの方法 ５：まとめ ← この記事！ 比較の方法（用いる指標について）まず、どのような指標を用いて、3つのスムージング方法を比較するのか、説明しましょう。 この記事では以下の3つの指標を用います。 1. 真値との差の2乗和 2

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          スムージング（平滑化）の話 5：まとめ

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          スムージング（平滑化）の話 4：グレヴィルの方法

          今回はスムージングの方法として、グレヴィルの方法について説明します！ スムージング（平滑化）の話 １：概論 ２：最小二乗法 ３：5 点移動平均法 ４：グレヴィルの方法 ← この記事！ ５：まとめ アイディアグレヴィルの方法のアイディアについて説明しましょう。 先のnoteで説明した移動平均法では、偶然変動の誤差項の影響を小さくするために「単純平均」を用いていました。 グレヴィルの方法では単純平均ではなく「加重平均」を用いることを考えます。すなわち、 を満たす係数列 ψ

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          スムージング（平滑化）の話 4：グレヴィルの方法

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          スムージング（平滑化）の話 3：5 点移動平均法

          今回はスムージングの方法として、5 点移動平均法について説明します！ スムージング（平滑化）の話 １：概論 ２：最小二乗法 ３：5 点移動平均法 ← この記事！ ４：グレヴィルの方法 ５：まとめ 移動平均法のアイディア移動平均法のアイディアについて説明しましょう。 まず、観測値は のように、真値に偶然変動の誤差項が混じったものと考えます。ここで誤差項は平均 0、分散 σ^2 の正規分布に従うと仮定しましょう。 このとき、誤差項の影響を小さくするには、どうすればいいで

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          スムージング（平滑化）の話 3：5 点移動平均法

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          スムージング（平滑化）の話 2：最小二乗法

          このnoteでは、スムージングの方法の 1 種として、最小二乗法についてお話します。「最小二乗法は、スムージングではなく回帰の手法ではないか？」という方もいらっしゃるでしょうが、ここでは広義のスムージングと捉えて説明していきます。 スムージング（平滑化）の話 １：概論 ２：最小二乗法 ← この記事！ ３：5 点移動平均法 ４：グレヴィルの方法 ５：まとめ 最小二乗法のアイディアまず最小二乗法のアイディアについて、お話していきましょう。 最小二乗法では、真値が従う方程式

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          スムージング（平滑化）の話 2：最小二乗法

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          スムージング（平滑化）の話 1：概論

          測定値の補正手法であるスムージング（平滑化）について、数回に渡ってお話ししていきます。今回は概論です。 スムージング（平滑化）の話 １：概論 ← この記事！ ２：最小二乗法 ３：5 点移動平均法 ４：グレヴィルの方法 ５：まとめ スムージングとはまず、スムージングとは何かお話ししていきましょう。下のグラフを見てください。 このグラフは、「とある測定値」を表しています。「とある測定値」とは、実務の上では、年齢別の死亡率だったり、年齢別の給与（昇給率）だったりします。今回は

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          スムージング（平滑化）の話 1：概論

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          【シミュレーション】n 枚のカードで作られた数値は 3 の倍数か？

          京都大学2017年度入学試験　数学（理系）の確率問題をエクセルVBAでシミュレーションしました！ 問題と理論値京都大学2017年度入学試験　数学（理系）の確率問題は以下のようなものでした。 問題： 詳しい導出は参考書等に譲りますが、解析解は以下のようになります。 シミュレーションVBAを用いてシミュレーションした結果が以下の表とグラフです。 有効数字 2 桁以上の精度で、理論値と一致する結果が得られました！ エクセルとVBA全文今回の計算に使用したエクセルファイル

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          【シミュレーション】n 枚のカードで作られた数値は 3 の倍数か？

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          【シミュレーション】サイコロの出た目の和が素数になる確率

          複数のサイコロを振って出た目の和が素数になる確率を、エクセルVBAでシミュレーションしました！ サイコロ 2 個の場合サイコロ 2 個の場合で、出た目の和が素数になる確率を計算してみましょう。出た目をそれぞれ a, b として、下のような表を書くと分かりやすいです。 黄色く塗った部分が素数ですので、その確率は となります。 シミュレーション：サイコロ 2 個の場合サイコロ2個を振って、出た目の和が素数となる確率をシミュレートした結果を示します。 試行回数を大きくす

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          【シミュレーション】サイコロの出た目の和が素数になる確率

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          【シミュレーション】じゃんけんにおける、あいこになる確率

          今回は、じゃんけんであいこになる確率を、人数を変化させて、エクセルVBAを用いてシミュレートしました！ 設定の概要設定： n 人でじゃんけんをする。 「 n 人全員が同じ手だったとき」または「 3 種類の手が揃ったとき」、あいことする。 問題： あいことなる確率は？ 解析解については、下の記事が詳しいです。 シミュレーションシミュレーションの結果が以下の表と図です。 結論理論値と有効桁数 2 ～ 5 桁で一致しました！ エクセルとVBA全文今回の計算に使用したエクセ

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          【シミュレーション】じゃんけんにおける、あいこになる確率

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          【シミュレーション】クラスに何人いれば、誕生日の一致する組が存在するか？

          学校の1クラスに何人くらいいれば、誕生日が一致する2人組が存在するのか、シミュレーションしてみました！ 問題の概要問題の要点は以下のようなものです。 問題： N 人のクラスにおいて、誕生日の一致する2人組が存在する確率は、どの程度か？ 直感に反するという意味で、「誕生日のパラドックス」とも呼ばれる問題ですね。 下の記事が詳しいのでご参照ください。 シミュレーションエクセルVBAを用いてシミュレートした結果が下の表とグラフです。 結果理論値と高い精度で一致する結果とな

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          【シミュレーション】クラスに何人いれば、誕生日の一致する組が存在するか？

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          【モンテカルロ法】円周率の近似計算

          モンテカルロ法を用いて円周率の近似計算を行いました！ 概要一辺の長さが 2 の正方形に内接する半径 1 の円を考えましょう。この正方形の内部に"ランダムに"点を打つと、その点が内接円の内部にある確率は、 となります。以下の記事が詳しいです。 このことから、円周率の近似計算を行うことができます。 シミュレーション実際に点を打って、シミュレートした結果を下に示します！ 結果点を増やすことで、3.14......に収束していく様子が見れました。 ゆとり教育を脱出するには、

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          【シミュレーション】銀行家の丸め

          五捨五入とも呼ばれる特殊な端数処理の方法「銀行家の丸め」について、説明・検証します。 「銀行家の丸め」とは「銀行家の丸め」とは、端数が 0.5 より小さいなら切り捨て、0.5 より大きいなら切り上げ、0.5 ちょうどなら切り捨てと切り上げのうち偶数となる方に端数処理する方法です。 例を見てみましょう。 例： 　1.32 → 1（四捨五入と同様） 　1.52 → 2（四捨五入と同様） 　1.50 → 2（偶数に丸め） 　2.52 → 3（四捨五入と同様） 　2.50 → 2

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          【シミュレーション】銀行家の丸め

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          【シミュレーション】何人と付き合えば、ベストな人と結婚できるか？

          いわゆる「お見合い問題」（≒何人と付き合えば、ベストな人と結婚できるか？という問題）についてシミュレーションしました！ 「お見合い問題」概要次のようなルール（制約）のもと、ベストな人と結婚するにはどのような戦略がよいか？　という問題です。 ルール： ● 最大 N 人と付き合う（お見合いする） ● お別れした人とは、よりを戻せない ● 結婚のプロポーズは、すれば必ず成功する 戦略： 初めの何人かは「見る目を養う期間」と割り切って"必ず別れる"。 その後、今まで出会った人の中

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          【シミュレーション】何人と付き合えば、ベストな人と結婚できるか？

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