ある操作をして誤ったとき、もとに戻すことができればその失敗はなかったことにできる。しかし、もとの状態に戻れせることは日常の中でいつもあるとは限らない。戻せるものもあれば、もう戻せないものもある。これらの性質を可逆性、不可逆性といわれる。

過ぎ去った時はもう過去に戻れない（不可逆）
パソコンの操作は大抵は元に戻せる（可逆）
将棋の「歩」は前しか行けず、もとの位置へバックできない（不可逆）
しかし「と金」に成ればもとの位置に戻れる（可逆）

さて、今、注目している対象をひとつ固定しよう。その中で考えられる操作の集合をＸと置こう。操作の手順はそれぞれの記号を順に並べることで表される。例えばＡという操作のあとＢという操作をした場合は、ＡＢと並べればよい。ＢＡと書いたら、Ｂを先にしてからＡをすることになるから、一般にはＡＢとＢＡは異なる。そしてこのようなＡＢもまた、ひとつの操作であるからＸの元である。

また、「何もしない」というのも操作だと考え、その操作を記号△で表すとしよう。

次に操作Ａをした後、もとに戻せるというのは、操作Ａに対してある操作Ａ’で、ＡＡ’＝△となるものがある、ということを意味する。このようなＡ’のことを、Ａの右逆元（みぎぎゃくげん）とよぶ。

また同様に、Ａに対してあるＡ’で、Ａ’Ａ＝△となるものがあるとき、今度はＡ’をＡの左逆元（ひだりぎゃくげん）とよぶ。

そして、Ａに対してＡの左逆元でも右逆元でもあるものを、Ａの逆元（ぎゃくげん）という。

逆元をもつような元を可逆元（かぎゃくげん）という。

なお、操作Ａの逆元Ａ’の逆元Ａ’’はＡそのものであるので、Ａ’も可逆元である。また、何もしない操作△も自分自身を逆元とする可逆元であることに注意しておこう。

さてこうして、操作の集合Ｘの上には操作Ａ，ＢからＡＢという操作を対応させる写像、つまり２項演算が定義された。この演算を乗法と呼ぼう。そしてＸとこの乗法については一般には単位的半群の条件を満たしている。そしてさらに、次の条件を満たす場合、群と呼ばれる：

（３）逆元の存在：
　任意のＸの元Ａに対して、あるＸの元Ａ’が存在して、
　ＡＡ’＝Ａ’Ａ＝△
　を満たす。

単位的半群の定義のところで（１），（２）を述べていたので（３）という番号にした。群の条件（１），（２），（３）をもう一度確認しよう。

（１）結合法則：
　任意のＸの元Ａ，Ｂ，Ｃについて
　（Ａ・Ｂ）・Ｃ＝Ａ・（Ｂ・Ｃ）
　が成り立つ。
（２）単位元の存在：
　任意のＸの元Ａについて、
　△・Ａ＝Ａ・△＝Ａ
　が成り立つ。元△をこの乗法に関する単位元（たんいげん）という。
（３）逆元の存在：
　任意のＸの元Ａに対して、あるＸの元Ａ’が存在して、
　ＡＡ’＝Ａ’Ａ＝△
　を満たす。

（３）はとてもうれしい性質で、どんな操作も元に戻せるのだから失敗を恐れずどんどんやっていこうという気分になれる。「後悔先に立たず」という概念もない世界です。

例えば、「ルービックキューブ」はどの面を回転させても、またそれとは反対向きに回転させることで元に戻せる。よって、ある面を１つ回転させる操作の集合は群になる。失敗したって回せばよいのだ！（きれいにそろった状態からスタートして回しすぎると今度は元に戻すのが難しくなるからパズルになる訳ですが。）

他にも「あみだくじ」というものがそうである。今、自然数ｎ＞０を固定しよう。ｎ本の線分を縦に引いて、任意の隣り合った２つの縦の線に、任意に横棒をいくつか引き、また別の隣り合った２つの縦の線についても同様で、これを何回か繰り返して作られる。上端に１，２，･･･，ｎと番号を書いて、上から下に向かって、また横棒が現れたら横の線分の上をたどっていく。最後にはｎ本の縦線の先端のうち、どこかにたどり着く。こうして１番はσ(1)番の線分に、２番はσ(2)番の線分に、･･･、ｎ番はσ(n)番の線分にたどり着いたとしたら、σというのは１以上ｎ以下の自然数からそれ自身への写像を与えている。そして写像σはあみだくじの作り方から全射で単射となっていることがわかる。（全射かつ単射となる写像を全単射という。）

今、このような全単射σが一致するような２つのあみだくじは同一視しておこう。つまり、番号から番号への結果に影響を与えないのならばいくら線分をつけ加えても、それらは互いに等しいあみだくじである、という立場でみている。（注意１）

このようなｎ本の縦の線分から作られるあみだくじの全体をＫとおく。このときＫには２つのあみだくじを縦で結合することで再び新しいあみだくじとなる。よってＫにはこのような方法で１つの２項演算が定義される。その演算を乗法と呼ぼう。そしてＫはその乗法によって群となる。

実際、単位元は横棒のないただのストレートなあみだくじである。そして一般のあみだくじＡが与えられたら、ちょうど天地をひっくり返してできるあみだくじＡ’がＡの逆元となるのは認められるだろう。（注意２）

（注意２：もともとの思考の順番としてはＡＡ’が単位元となることを認められるように「注意１」を導入した。「注意１」の同一視を除けば、ただの単位的半群である。）

他の例では、整数全体について、整数の加法に関する演算によって群を成す。この加法は交換法則も成り立つので特に可換群またはアーベル群ともいわれる。

しかし自然数全体｛１，２，３，･･･｝には、加法についての単位元をもたない。自然数に０を付与した「０以上の整数の集合」を考えても、その加法について単位元０を持つが、０以外は逆元をもたないから群ではない。

なお整数の世界は自然数の加法について逆元を満たすように拡張した最小の世界となっていることを、いくつか概念を用意したあとに、議論していきたいと思います。