分解を語る上で基本的になってくる約数や倍数の言葉を見直し一般の単位的半群においても同様な概念を定義しよう。そのあとこれらが引き起こす２項関係の性質を調べよう。

１．約元

約数とはその与えられた数を割り切る数であった。例えば整数の１２の約数は、
　±１，±２，±３，±４，±６、±１２，
がある。±とは＋またはーの２通りを表している。これらは、
　（±１）×（±１２），（±２）×（±６），（±３）×（±４），
　（±４）×（±３），（±６）×（±２），（±１２）×（±１）
のように、ある整数との積がもとの整数１２となるような数である。

これにならい、一般の可換な単位的半群でも”約数”に相当するものを定義しよう。一般のＲの中ではこれを約元（やくげん）と呼ぶ。定義は、次のようになる：
　ｂをＲの元とする。Ｒの元ａがｂの約元であるとは、Ｒのある元ｘが存在して
　ｂ＝ａｘ
と書けるときにいう。

２．倍元

次に、例えば整数４を固定したとき、４の倍数とは４と整数の積：
　０，±４，±８，±１２，±１６，･･･
という整数である。

一般の単位的半群における場合も同様に言葉を定めよう。約元はａを主語した言い方あったが、ｂを主語にする場合は倍元（ばいげん）と呼ぶ。即ち、
　ａをＲの元とする。Ｒの元ｂがａの倍元であるとは、Ｒのある元ｘが存在してｂ＝ａｘとなるときにいう。

３．整除関係

約元と倍元は、元ａと元ｂのどちらを主語にするかによる違いのみで、どちらも２元ａ，ｂについて論理的には同値である：
　「ａがｂの約元である」　⇔　「ｂはａの倍元である」
そしてこれを、
　ａ｜ｂ
と書き、｜をＲにおける整除関係という：
　ａ｜ｂ　⇔　あるＲの元ｘが存在して、ｂ＝ａｘを満たす

例えば上記の例では
　±１｜１２，±２｜１２，±３｜１２，
　±４｜１２，±６｜１２，±１２｜１２
である。

なお、Ｒに零元０がある場合、零元の定義：
　０×ａ＝ａ×０＝０（ａは任意のＲの元）
により、０は任意の元の倍元である：
　ａがＲの元　⇔　ａ｜０

４．整除関係の性質

さて、整除関係｜は、可換な単位的半群Ｒの上の２項関係である。この関係の諸法則を確認しよう。それは反射律、推移律を満たすが、必ずしも反対称律を満たすとは限らない。また、任意の２元で常に比較できる（比較可能性）とは限らない。つまり、
「任意の元ａ，ｂについてａ｜ｂまたはｂ｜ａが成り立つ、ということはない」

・反射律の確認：
Ｒの元ａを任意に取ってくる。Ｒには単位元１が存在するから、
　ａ＝ａ・１
と書ける。よって、
　ａ｜ａ
である。

・推移律の確認：
Ｒの元ａ，ｂ，ｃで、ａ｜ｂかつｂ｜ｃとする。あるＲの元ｘ，ｙが存在して
ｂ＝ａｘ，ｃ＝ｂｙ
と書ける。よって
ｃ＝ｂｙ
　＝（ａｘ）ｙ　　
　＝ａ（ｘｙ）　（∵結合法則）
従って、ａ｜ｃである。

・反対称律を満たさない例：
例えばＲの元ｃが単位元とは異なる可逆元が存在する場合を考えよう。仮定よりｃの逆元ｃ’が存在する。ｃ’も当然単位元ではない。このとき、ｃｃ’＝１であるから
　ｃ｜１
である。一方ｃ＝１・ｃでもあるから
　１｜ｃ
である。ところ仮定よりｃ≠１である。よって、反対称律を満たさない。
具体的には、Ｒ＝Ｚ（整数すべての集合）における乗法を考えると、Ｚの可逆元は１以外にー１がある。実際，
　（－１）×（－１）＝１
である。このとき、例えば
　１｜２　かつ　－１｜２
を満たすが、１≠－１である。

・比較可能性を満たさない例
　例えばＲ＝Ｚ（整数すべての集合）における乗法では、２と３については、　２｜３でないし、３｜２でもない。

５．順序関係

以上より、（Ｒ，｜）は反射律、推移律を満たすので前順序関係であると言われる。また、反対称律を満たす場合は半順序関係であると言われる。

例えば自然数の集合Ｎに通常乗法（×）を考えた可換な単位的半群（Ｎ，×）では、可逆元が１のみである。そしてＮ’の元ａ，ｂ
　ａ｜ｂ　かつ　ｂ｜ａ
とすると、
　ｂ＝ａｘ　かつ　ａ＝ｂｙ
となる自然数ｘ，ｙが存在する。よって、自然数の積であるから
　ｂ≦ａ　かつ　ａ≦ｂ
ゆえに、
　ｂ＝ａ
となる。従って反対称律を満たす。

半順序関係でさらに、比較可能性（任意の２元で比較可能）を満たす場合は全順序関係と呼ばれるが、比較可能性を必ずしも満たさないことは先ほど見た通りである。よって必ずしも全順序関係とはならない。（順序関係の話は「順序」を参照）

例えば、０以上の整数の集合Ｎ’＝Ｎ∪｛０｝の通常の加法（＋）を考えたときの可換な単位的半群（Ｎ’，＋）では、
　ａ｜ｂ　⇔　あるＮ’の元ｘが存在して、ｂ＝ａ＋ｘ
となるから、ｂ≧ａであれば、そのようなＮ’の元ｘは存在する。
ｂ＜ａであれば、今度は入れ替えて同様に考えれば
　ｂ｜ａ
を満たす。従って、ａ｜ｂまたはｂ｜ａが常に成り立つゆえ、比較可能性を満たし、全順序関係となる。