群論を定義から始めてみたいのですが

群論は数学の一分野で、対象の集合とその上の二項演算を研究するものです。群とは、ある特定の性質を持つ集合と演算の組み合わせで、以下の四つの公理を満たす必要があります。

1. **結合法則**: すべての $${a, b, c \in G}$$に対して、$${(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}$$が成立します。
2. **単位元の存在**: ある元 $${e \in G }$$が存在し、すべての $${a \in G}$$に対して $${e \cdot a = a \cdot e = a}$$となります。
3. **逆元の存在**: すべての$${a \in G }$$に対して、ある $${b \in G}$$ が存在し $${a \cdot b = b \cdot a = e}$$となるような $${b}$$存在します。ここで $${e}$$は単位元です。
4. **閉性**: $${a, b \in G}$$の場合、$${a \cdot b}$$も $${G}$$の元でなければなりません。

これらの公理に基づいて、群は数学的な対象の対称性や変換を捉える強力なツールとして機能します。群の概念は、数学の多くの分野、物理学、化学、情報科学などで応用されています。